Номер 10, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 10, страница 69.

Условие.

7.10. Параллелограмм $A_1 B_1 C_1 D_1$ является изображением прямоугольника $ABCD$ (рис. 7.25). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$.

Рис. 7.23

Рис. 7.24

Рис. 7.25

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением (параллельной проекцией) прямоугольника $ABCD$, для построения изображения искомого перпендикуляра необходимо проанализировать свойства исходной фигуры и свойства параллельного проектирования.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$. Пусть $OM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $BC$ (точка $M$ лежит на стороне $BC$).

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Из этого следует, что $OB = OC$. Таким образом, треугольник $OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, перпендикуляр $OM$ является медианой треугольника $OBC$, а это значит, что точка $M$ — середина стороны $BC$.

При параллельном проектировании сохраняются следующие свойства:

• Точка пересечения диагоналей фигуры проецируется в точку пересечения диагоналей ее изображения. Таким образом, изображение точки $O$ — это точка $O_1$, где $O_1$ является пересечением диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$ параллелограмма.
• Середина отрезка проецируется в середину изображения этого отрезка. Так как точка $M$ является серединой стороны $BC$, ее изображение (точка $M_1$) будет являться серединой стороны $B_1C_1$ параллелограмма.

Следовательно, изображение перпендикуляра $OM$ есть отрезок $O_1M_1$.

Алгоритм построения:

1. В заданном параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ проводим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$.
2. Обозначаем точку их пересечения $O_1$.
3. Находим середину стороны $B_1C_1$ (например, с помощью циркуля и линейки или измерением) и обозначаем ее $M_1$.
4. Соединяем точки $O_1$ и $M_1$ отрезком.

Отрезок $O_1M_1$ и является искомым изображением перпендикуляра.

Ответ: Изображением перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$, является отрезок $O_1M_1$, где $O_1$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, а $M_1$ — середина его стороны $B_1C_1$.