Страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным переносом.

Параллельный перенос — это вид геометрического преобразования (движения), при котором каждая точка фигуры сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Это преобразование задается с помощью вектора, называемого вектором переноса. Пусть задан вектор $\vec{a}$. Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называют такое преобразование, при котором произвольная точка $M$ фигуры $F$ переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$. Это можно записать как $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Если задана прямоугольная система координат, то параллельный перенос можно описать с помощью формул. Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(p, q)$. Тогда точка $M'$, в которую переходит точка $M$ в результате параллельного переноса, будет иметь координаты $(x', y')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x + p$
$y' = y + q$

Основные свойства параллельного переноса:

1. Параллельный перенос является движением (изометрией). Это означает, что он сохраняет расстояния между точками. Следовательно, любая фигура при параллельном переносе переходит в равную ей фигуру.
2. Прямая переходит в параллельную ей прямую или в саму себя (если вектор переноса коллинеарен этой прямой).
3. Сохраняются углы между прямыми.
4. При параллельном переносе не изменяется ориентация фигуры, то есть она не поворачивается и не отражается.

Ответ: Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, определяемое вектором переноса $\vec{a}(p, q)$. Каждая точка $(x, y)$ фигуры переходит в точку $(x+p, y+q)$.

3. Опишите преобразование фигуры, которое называют центральной симметрией.

3.

Центральная симметрия – это вид геометрического преобразования (движения), при котором фигура отображается относительно заданной точки, называемой центром симметрии.

Пусть на плоскости (или в пространстве) задана точка $O$ – центр симметрии. Преобразование, при котором каждая точка $A$ фигуры переходит в такую точку $A'$, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$, называется центральной симметрией относительно точки $O$.

Это означает, что для любой точки $A$ и её образа $A'$ выполняются два условия:

1. Точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой.
2. Расстояния от центра симметрии до точки и её образа равны: $|AO| = |OA'|$.

Сам центр симметрии $O$ при таком преобразовании отображается сам в себя. Чтобы построить фигуру $F'$, симметричную фигуре $F$ относительно центра $O$, необходимо каждую точку фигуры $F$ преобразовать симметрично относительно этого центра.

Центральная симметрия является изометрией, то есть сохраняет расстояния между точками. Поэтому фигура, полученная в результате центральной симметрии, конгруэнтна (равна) исходной фигуре. Также данное преобразование равносильно повороту фигуры на 180° вокруг центра симметрии $O$.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование, при котором каждая точка $A$ фигуры переходит в точку $A'$ так, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

4. Какое преобразование фигуры называют движением?

Движением (или изометрией) в геометрии называют преобразование фигуры, при котором сохраняются расстояния между точками.

Это означает, что если взять любые две точки $A$ и $B$ фигуры и при преобразовании они переходят в точки $A'$ и $B'$, то расстояние между исходными точками будет равно расстоянию между их образами. Математически это свойство записывается как $AB = A'B'$.

Простыми словами, движение — это такое преобразование, которое не изменяет ни форму, ни размеры фигуры, а лишь меняет её положение на плоскости или в пространстве. Фигура, полученная в результате движения, является конгруэнтной (равной) исходной фигуре.

Из основного свойства движения (сохранения расстояний) вытекают и другие важные свойства:

• Отрезок переходит в равный ему отрезок.
• Угол переходит в равный ему угол.
• Прямая переходит в прямую, а луч — в луч.
• Сохраняется взаимное расположение точек (например, если точка лежала между двумя другими, её образ будет лежать между образами тех двух точек).
• Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

К основным видам движений на плоскости относятся:

• Параллельный перенос — смещение всех точек фигуры в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
• Поворот — вращение всех точек фигуры вокруг определённой точки (центра поворота) на заданный угол.
• Осевая симметрия (отражение) — зеркальное отображение фигуры относительно некоторой прямой (оси симметрии).

Ответ: Движением называют преобразование фигуры, которое сохраняет расстояния между ее точками.

5. Какие фигуры называют равными?

Две геометрические фигуры называют равными (или конгруэнтными), если одну из них можно переместить так, чтобы она полностью совпала с другой. Такое перемещение в геометрии называется движением (или изометрией).

Движение — это преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками. Основные виды движений на плоскости:

• Параллельный перенос
• Поворот
• Осевая симметрия (отражение)

Таким образом, если фигуру $F_1$ можно преобразовать в фигуру $F_2$ с помощью одного или нескольких движений, то эти фигуры равны ($F_1 = F_2$). Это означает, что равные фигуры имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Все их соответствующие элементы (стороны, углы, радиусы и т.д.) также равны между собой.

Простые примеры:

• Два отрезка равны, если равны их длины.
• Два угла равны, если равны их градусные (или радианные) меры.
• Две окружности равны, если равны их радиусы.
• Два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны, если у них соответственно равны стороны и углы ($\angle A = \angle A_1$, $AB = A_1B_1$ и т.д.). Равенство треугольников обычно доказывается с помощью признаков равенства.

Ответ: Равными называют фигуры, которые можно совместить друг с другом путем наложения (движения) так, что они полностью совпадут.

6. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием.

Параллельное проектирование — это способ изображения пространственных фигур на плоскости, который представляет собой преобразование, ставящее в соответствие каждой точке пространства $A$ определенную точку $A'$ на плоскости проекций.

Для выполнения параллельного проектирования необходимо задать два элемента: плоскость проекций $\pi$ и прямую $l$, которая пересекает эту плоскость и называется направлением проектирования. Процесс преобразования для любой точки $M$ в пространстве заключается в следующем: через точку $M$ проводится прямая $m$, параллельная направлению проектирования $l$. Точка $M'$, в которой прямая $m$ пересекает плоскость $\pi$, и является параллельной проекцией точки $M$. Параллельная проекция всей фигуры — это множество проекций всех ее точек.

Параллельное проектирование обладает рядом ключевых свойств:
1. Проекцией прямой является прямая. Исключение составляет случай, когда прямая параллельна направлению проектирования $l$ — тогда ее проекцией будет одна точка.
2. Проекции параллельных прямых также параллельны между собой (или могут совпадать в одну прямую).
3. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. Например, середина отрезка всегда проектируется в середину проекции этого отрезка.
4. В общем случае длины отрезков и величины углов при параллельном проектировании не сохраняются.

Ответ: Параллельное проектирование – это преобразование фигуры, при котором через каждую ее точку проводится прямая, параллельная заданному направлению, до пересечения с некоторой плоскостью (плоскостью проекций). Совокупность полученных точек пересечения и является параллельной проекцией фигуры.

7. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельного проектирования.

Основные свойства параллельного проектирования выражаются следующими теоремами:

Теорема о проекции прямой

Параллельная проекция прямой на плоскость является прямой. Исключение составляет случай, когда исходная прямая параллельна направлению проектирования — тогда ее проекцией на плоскость является точка.
Ответ: Проекцией прямой является прямая, за исключением случая, когда прямая параллельна направлению проектирования — в этом случае ее проекция является точкой.

Теорема о сохранении параллельности прямых

Если две прямые в пространстве параллельны, то их параллельные проекции на плоскость также параллельны между собой или совпадают. Совпадение проекций происходит в случае, когда плоскость, проходящая через исходные параллельные прямые, параллельна направлению проектирования.
Ответ: Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую.

Теорема о сохранении отношения длин отрезков

Отношение длин отрезков, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется при параллельном проектировании. Если точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$, а точки $C$ и $D$ — на прямой $b$, причем $a \parallel b$, и $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ — их соответствующие проекции, то выполняется равенство:
$\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|A'B'|}{|C'D'|}$
Важным следствием этой теоремы является то, что середина отрезка проектируется в середину проекции этого отрезка.
Ответ: Отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых (или на одной прямой), при параллельном проектировании сохраняется.

7.1. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 7.23). При некотором параллельном переносе образом точки $A$ является точка $A_1$. Какая фигура является при данном параллельном переносе образом:

1) точки $D$;

2) отрезка $AB$;

3) отрезка $BC$;

4) отрезка $AC$?

Рис. 7.23

По условию задачи, дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Параллельный перенос переводит точку $A$ в точку $A_1$. Это означает, что данный параллельный перенос задаётся вектором $\vec{v} = \vec{AA_1}$. При параллельном переносе любая точка $M$ переходит в точку $M'$ такую, что $\vec{MM'} = \vec{v}$.

В кубе все боковые рёбра равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим рёбрам и направленные в одну сторону, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

1) точки D

Чтобы найти образ точки $D$, нужно выполнить перенос на вектор $\vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{DD_1}$, то образом точки $D$ при переносе на вектор $\vec{DD_1}$ будет точка $D_1$.
Ответ: точка $D_1$.

2) отрезка AB

Образом отрезка при параллельном переносе является отрезок, концами которого служат образы концов исходного отрезка.

• Образ точки $A$ — это точка $A_1$ (по условию).
• Образ точки $B$ — это точка $B'$, для которой $\vec{BB'} = \vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$, то образом точки $B$ является точка $B_1$.

Следовательно, образом отрезка $AB$ является отрезок $A_1B_1$.
Ответ: отрезок $A_1B_1$.

3) отрезка BC

Найдём образы концов отрезка $BC$.

• Образ точки $B$ — это точка $B_1$, как было показано в предыдущем пункте.
• Образ точки $C$ — это точка $C'$, для которой $\vec{CC'} = \vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$, то образом точки $C$ является точка $C_1$.

Следовательно, образом отрезка $BC$ является отрезок $B_1C_1$.
Ответ: отрезок $B_1C_1$.

4) отрезка AC

Найдём образы концов отрезка $AC$.

• Образ точки $A$ — это точка $A_1$ (по условию).
• Образ точки $C$ — это точка $C_1$, как было показано в предыдущем пункте.

Следовательно, образом отрезка $AC$, который является диагональю нижнего основания, является отрезок $A_1C_1$, который является диагональю верхнего основания.
Ответ: отрезок $A_1C_1$.

7.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 7.23). При некотором параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Образом какой фигуры при данном параллельном переносе является:

1) точка $D$;

2) отрезок $D_1C$;

3) грань $CC_1D_1D$?

По условию задачи, при некотором параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Это означает, что точка $B$ переходит в точку $C$, а точка $B_1$ переходит в точку $C_1$. Следовательно, данный параллельный перенос задается вектором переноса $\vec{v} = \vec{BC}$.

Чтобы найти прообраз фигуры (то есть фигуру, которая переходит в данную), необходимо выполнить обратное преобразование — параллельный перенос на вектор, противоположный вектору $\vec{v}$. Таким вектором является $-\vec{v} = -\vec{BC} = \vec{CB}$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ справедливы следующие равенства векторов: $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{C_1B_1} = \vec{D_1A_1}$.

1) точка $D_1$

Чтобы найти прообраз точки $D_1$, нужно перенести точку $D_1$ на вектор $\vec{CB}$. Используя равенство $\vec{CB} = \vec{D_1A_1}$, мы видим, что перенос точки $D_1$ на вектор $\vec{D_1A_1}$ отображает ее в точку $A_1$. Таким образом, прообразом точки $D_1$ является точка $A_1$.
Ответ: точка $A_1$.

2) отрезок $D_1C$

Прообразом отрезка при параллельном переносе является отрезок. Чтобы его найти, достаточно найти прообразы его концов — точек $D_1$ и $C$.
Прообраз точки $D_1$ найден в предыдущем пункте — это точка $A_1$.
Чтобы найти прообраз точки $C$, перенесем ее на вектор $\vec{CB}$. В результате этого переноса точка $C$ перейдет в точку $B$.
Следовательно, прообразом отрезка $D_1C$ является отрезок $A_1B$.
Ответ: отрезок $A_1B$.

3) грань $CC_1D_1D$

Прообразом грани является грань. Чтобы ее найти, найдем прообразы ее вершин: $C$, $C_1$, $D_1$, $D$.

• Прообраз точки $C$ — это точка $B$ (как найдено в п. 2).
• Прообраз точки $C_1$: переносим точку $C_1$ на вектор $\vec{CB}$. Так как $\vec{CB} = \vec{C_1B_1}$, точка $C_1$ переходит в точку $B_1$.
• Прообраз точки $D_1$ — это точка $A_1$ (как найдено в п. 1).
• Прообраз точки $D$: переносим точку $D$ на вектор $\vec{CB}$. Так как $\vec{CB} = \vec{DA}$, точка $D$ переходит в точку $A$.

Таким образом, прообразами вершин $C, C_1, D_1, D$ являются соответственно вершины $B, B_1, A_1, A$. Эти вершины образуют грань $ABB_1A_1$.
Ответ: грань $ABB_1A_1$.

7.3. Фигура состоит из трёх точек. Из какого количества точек может состоять параллельная проекция этой фигуры?

Параллельная проекция фигуры, состоящей из трёх точек, может состоять из одной, двух или трёх точек. Количество точек в проекции зависит от взаимного расположения исходных трёх точек в пространстве и от направления проектирования по отношению к ним.

Пусть исходная фигура состоит из трёх точек $A$, $B$ и $C$. Их параллельные проекции на некоторую плоскость обозначим как $A'$, $B'$ и $C'$. Рассмотрим все возможные случаи.

Проекция состоит из 3 точек

Это наиболее общий случай. Если направление проектирования не параллельно ни одной из прямых, проходящих через пары точек ($AB$, $BC$, $AC$), то все три точки $A$, $B$ и $C$ спроецируются в три различные точки $A'$, $B'$ и $C'$. Такое направление проектирования можно выбрать всегда, независимо от того, лежат ли исходные точки на одной прямой или нет.

Проекция состоит из 2 точек

Этот случай возможен, если проекции двух из трёх точек совпадают, а третья — нет. Например, $A' = B'$, но $C'$ — отдельная точка. Это произойдет, если прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, будет параллельна направлению проектирования, а прямые $AC$ и $BC$ не будут ему параллельны. Такое условие выполнимо только в том случае, если точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, то есть образуют треугольник. Выбрав направление проектирования параллельно одной из сторон этого треугольника (например, $AB$), мы получим, что точки $A$ и $B$ спроецируются в одну точку, а вершина $C$ — в другую.

Проекция состоит из 1 точки

Этот случай возможен, если проекции всех трёх точек совпадают: $A' = B' = C'$. Это произойдет, если все прямые, соединяющие пары точек ($AB$, $BC$, $AC$), параллельны направлению проектирования. Такое возможно только в том случае, если исходные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Если выбрать направление проектирования параллельно этой прямой, то все три точки спроецируются в одну единственную точку на плоскости проекции.

Ответ: Параллельная проекция фигуры, состоящей из трёх точек, может состоять из 1, 2 или 3 точек.

7.4. Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть:

1) две пересекающиеся прямые;

2) параллельные прямые;

3) одна прямая;

4) прямая и точка вне её?

Рассмотрим каждый случай отдельно, исходя из свойств параллельного проецирования. Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$.

1) две пересекающиеся прямые

Да, может. Это наиболее общий случай. Если плоскость, в которой лежат пересекающиеся прямые $a$ и $b$, не параллельна направлению проецирования, то проекцией каждой прямой будет прямая. Точка их пересечения $M$ спроецируется в точку $M'$, которая будет принадлежать проекциям обеих прямых. Следовательно, проекции прямых $a'$ и $b'$ будут пересекаться в точке $M'$.
Ответ: да, может.

2) параллельные прямые

Нет, не может. При параллельном проецировании точка пересечения исходных прямых $M$ переходит в точку $M'$, которая принадлежит проекциям обеих прямых. Таким образом, у проекций всегда есть как минимум одна общая точка. Параллельные прямые по определению не имеют общих точек. Следовательно, проекции пересекающихся прямых не могут быть параллельными.
Ответ: нет, не может.

3) одна прямая

Да, может. Две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ определяют единственную плоскость $\alpha$. Если направление проецирования параллельно этой плоскости $\alpha$ (но не параллельно ни одной из исходных прямых), то вся плоскость $\alpha$ спроецируется в одну прямую на плоскости проекции. Поскольку обе прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$, их проекции совпадут и образуют одну прямую.
Ответ: да, может.

4) прямая и точка вне её

Нет, не может. Чтобы проекцией одной из прямых (например, $b$) была точка, направление проецирования должно быть параллельно этой прямой $b$. При этом прямая $a$, которая пересекает прямую $b$, не будет параллельна направлению проецирования, и её проекцией будет прямая $a'$.
Однако исходные прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $M$. Её проекция, точка $M'$, должна принадлежать проекциям обеих фигур. Проекция прямой $b$ — это точка, пусть это будет точка $B'$. Проекция прямой $a$ — это прямая $a'$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b$, её проекция $M'$ совпадает с точкой $B'$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$, её проекция $M'$ должна лежать на прямой $a'$. Следовательно, точка $B'$ (проекция прямой $b$) лежит на прямой $a'$ (проекции прямой $a$). Таким образом, получить прямую и точку вне её невозможно.
Ответ: нет, не может.

7.5. Какая геометрическая фигура не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых:

1) две параллельные прямые;

2) две пересекающиеся прямые;

3) прямая и точка на ней;

4) прямая и точка вне её?

Для ответа на вопрос проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) две параллельные прямые

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ с направляющими векторами $\vec{d_a}$ и $\vec{d_b}$. Так как прямые скрещиваются, их направляющие векторы не коллинеарны. Существует плоскость $\alpha$, параллельная обеим этим прямым (ее направляющими векторами будут $\vec{d_a}$ и $\vec{d_b}$). Если выбрать направление проектирования $s$ параллельно этой плоскости $\alpha$ (но не параллельно самим прямым $a$ или $b$), то плоскости, проходящие через каждую из прямых параллельно направлению $s$, будут параллельны друг другу. Их проекции на плоскость проекции (не параллельную им) будут двумя параллельными прямыми. Следовательно, такой случай возможен.

Ответ: две параллельные прямые могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

2) две пересекающиеся прямые

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Если выбрать направление проектирования $s$, не параллельное плоскости, которая параллельна обеим прямым, то всегда найдется единственная пара точек $A$ на прямой $a$ и $B$ на прямой $b$, для которых вектор $\vec{AB}$ будет коллинеарен вектору направления проектирования $\vec{s}$. При таком проектировании точки $A$ и $B$ спроецируются в одну и ту же точку $C'$. Так как направление проектирования не параллельно ни одной из исходных прямых, их проекциями будут прямые $a'$ и $b'$. Точка $C'$ будет их общей точкой, то есть точкой пересечения. Следовательно, такой случай возможен.

Ответ: две пересекающиеся прямые могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

3) прямая и точка на ней

Чтобы проекцией одной прямой (например, $a$) была точка, направление проектирования $s$ должно быть параллельно этой прямой. Тогда проекцией прямой $a$ будет точка $A'$. Проекцией второй прямой $b$ будет прямая $b'$ (поскольку $b$ не параллельна $a$, она не будет параллельна и направлению $s$).Для того чтобы точка-проекция $A'$ лежала на прямой-проекции $b'$, необходимо, чтобы существовала прямая, параллельная направлению $s$ (то есть параллельная прямой $a$), которая соединяет точку на прямой $a$ с точкой на прямой $b$. Это означало бы, что существует точка $B$ на прямой $b$, которая также лежит на прямой, проходящей через некоторую точку $A$ на $a$ и параллельной $a$. Это возможно только если точка $B$ лежит на самой прямой $a$. Таким образом, точка $B$ должна быть точкой пересечения прямых $a$ и $b$. Но скрещивающиеся прямые по определению не пересекаются. Возникает противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.

Ответ: прямая и точка на ней не могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

4) прямая и точка вне её

Как показано в анализе предыдущего пункта, если выбрать направление проектирования $s$ параллельно одной из прямых, например $a$, то ее проекцией будет точка $A'$, а проекцией второй прямой $b$ — прямая $b'$. Также было доказано, что точка $A'$ не может лежать на прямой $b'$. Таким образом, проекция двух скрещивающихся прямых может представлять собой прямую и точку вне этой прямой. Следовательно, такой случай возможен.

Ответ: прямая и точка вне её могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

7.6. 1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

Да, могут. Длина проекции отрезка зависит как от его собственной длины, так и от его расположения в пространстве относительно плоскости и направления проецирования. Можно подобрать такие расположения для двух неравных отрезков, что их проекции будут равны.

Рассмотрим ортогональное проецирование (частный случай параллельного) на некоторую плоскость $\pi$. Длина проекции $L'$ отрезка длиной $L$, составляющего с плоскостью $\pi$ угол $\alpha$, вычисляется по формуле $L' = L \cdot \cos(\alpha)$.

Возьмем два неравных отрезка $AB$ и $CD$ с длинами $L_1 = 2$ и $L_2 = 4$ соответственно. Расположим отрезок $AB$ под углом $\alpha_1 = 60^\circ$ к плоскости $\pi$, а отрезок $CD$ — под углом $\alpha_2$, для которого $\cos(\alpha_2) = 1/2$. Например, можно взять $\alpha_2$ такой, что $\cos(\alpha_2) = \frac{L_1 \cos(\alpha_1)}{L_2} = \frac{2 \cdot \cos(60^\circ)}{4} = \frac{2 \cdot 0.5}{4} = 1/4$. Тогда длины их проекций будут равны:
Длина проекции $AB$: $L'_1 = L_1 \cos(\alpha_1) = 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 0.5 = 1$.
Длина проекции $CD$: $L'_2 = L_2 \cos(\alpha_2) = 4 \cdot (1/4) = 1$.

Таким образом, проекции $L'_1$ и $L'_2$ равны, хотя исходные отрезки не были равны.

Более простой пример: если два неравных отрезка расположить параллельно направлению проецирования, то их проекциями будут две точки. Длина проекции в обоих случаях будет равна нулю, то есть проекции будут равны.
Ответ: Да, могут.

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

Да, могут. Как и в предыдущем вопросе, всё зависит от расположения отрезков. Если взять два равных отрезка и расположить их по-разному относительно плоскости и направления проецирования, их проекции, как правило, будут иметь разную длину.

Снова используем пример с ортогональным проецированием. Возьмем два равных отрезка $AB$ и $CD$ длиной $L=10$.

1. Расположим отрезок $AB$ параллельно плоскости проецирования $\pi$. Угол $\alpha_1$ между отрезком и плоскостью равен $0^\circ$. Длина его проекции будет $L'_1 = 10 \cdot \cos(0^\circ) = 10 \cdot 1 = 10$.
2. Расположим отрезок $CD$ под углом $\alpha_2 = 60^\circ$ к плоскости $\pi$. Длина его проекции будет $L'_2 = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5$.

В результате проекции $L'_1=10$ и $L'_2=5$ не равны, хотя исходные отрезки были равны.
Ответ: Да, могут.

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

Да, может. Это невозможно при ортогональном проецировании (когда направление проецирования перпендикулярно плоскости), так как в этом случае длина проекции равна $L' = L \cdot \cos(\alpha) \le L$. Однако при косом (неортогональном) проецировании проекция может быть длиннее исходного отрезка.

Простой наглядный пример — тень от предмета. Представим вертикальный шест (отрезок) и горизонтальную землю (плоскость проецирования). Солнечные лучи задают направление параллельного проецирования. Когда солнце находится низко над горизонтом, его лучи падают на землю под острым углом. В этом случае тень от шеста (его проекция) будет гораздо длиннее самого шеста.

Математически, если направление проецирования составляет с плоскостью проецирования достаточно малый угол, проекция будет длиннее отрезка. Например, пусть плоскость проецирования — это $Oxy$, а направление проецирования задано вектором $\vec{s}$. Если угол между $\vec{s}$ и плоскостью $Oxy$ меньше $45^\circ$, то проекция вертикального отрезка длиной $h$ будет иметь длину больше $h$.
Ответ: Да, может.

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

Да, может. Это одно из фундаментальных свойств параллельного проецирования. Проекция прямой параллельна исходной прямой в том случае, если исходная прямая параллельна плоскости проецирования (и при этом не параллельна направлению проецирования).

Рассмотрим два случая:
1. Прямая $a$ лежит в плоскости проецирования $\pi$. В этом случае каждая точка прямой проецируется сама в себя. Таким образом, проекция $a'$ совпадает с прямой $a$. Совпадающие прямые по определению являются параллельными.
2. Прямая $a$ параллельна плоскости проецирования $\pi$, но не лежит в ней. Возьмем любые две точки $A$ и $B$ на прямой $a$. Их проекции на плоскость $\pi$ — это точки $A'$ и $B'$. Прямая $a'$ (проекция прямой $a$) проходит через $A'$ и $B'$. Так как проецирование параллельное, отрезки $AA'$ и $BB'$ параллельны (они оба параллельны направлению проецирования). Четырехугольник $ABB'A'$ является трапецией (или параллелограммом), и его основания $AB$ и $A'B'$ лежат на параллельных прямых $a$ и $a'$. Следовательно, прямая $a'$ параллельна прямой $a$.

Ответ: Да, может.