Страница 131 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?

Две пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями (двугранный угол) измеряется его линейным углом. Чтобы построить линейный угол, нужно:
1. Найти линию пересечения плоскостей (пусть это будет прямая $c$).
2. Взять на прямой $c$ произвольную точку.
3. Провести в каждой плоскости через эту точку лучи, перпендикулярные прямой $c$.
Угол, образованный этими лучами, и есть линейный угол двугранного угла. Если величина этого угла составляет $90^\circ$, то плоскости считаются перпендикулярными. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, это обозначают как $\alpha \perp \beta$.

Также существует важный признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется в задачах: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Например, если плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$), то из этого следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ также перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

Ответ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$.

2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

2.

Признак перпендикулярности двух плоскостей — это теорема, которая позволяет установить перпендикулярность плоскостей на основе определённых условий.

Формулировка теоремы: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Рассмотрим это более формально. Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Для того чтобы доказать, что плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\beta \perp \alpha$), достаточно выполнить два условия:

1. Найти в плоскости $\beta$ некоторую прямую $a$. Математически это записывается как $a \subset \beta$.
2. Доказать, что эта прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Математически это записывается как $a \perp \alpha$.

Если оба эти условия выполняются, то по признаку перпендикулярности плоскостей можно сделать вывод, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны.

Краткая запись условия:
Если $a \subset \beta$ и $a \perp \alpha$, то $\beta \perp \alpha$.

Ответ: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$. Угол между двумя плоскостями — это величина двугранного угла между ними, которая измеряется его линейным углом. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, это обозначается как $\alpha \perp \beta$.

Основные свойства перпендикулярных плоскостей формулируются в виде следующих теорем:

Свойство 1 (Признак перпендикулярности двух плоскостей)

Теорема: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Иными словами, если плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$), то из этого следует, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$). Это основной способ доказать перпендикулярность двух плоскостей.

Ответ: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Свойство 2

Теорема: Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.

Пусть дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$) и пересекаются по прямой $c$ ($\alpha \cap \beta = c$). Если в плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$ ($a \subset \alpha$), которая перпендикулярна линии пересечения $c$ ($a \perp c$), то прямая $a$ будет перпендикулярна всей плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Ответ: Прямая, проведенная в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей перпендикулярно к линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

Свойство 3

Теорема: Если из точки, принадлежащей одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, опустить перпендикуляр на вторую плоскость, то этот перпендикуляр будет целиком лежать в первой плоскости.

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$). Если взять любую точку $A$ в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) и провести из нее перпендикуляр $AH$ к плоскости $\beta$ ($AH \perp \beta$), то этот перпендикуляр $AH$ будет полностью содержаться в плоскости $\alpha$ ($AH \subset \alpha$). Это свойство является следствием Свойства 2.

Ответ: Перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей на другую плоскость, содержится в первой плоскости.

14.1. Приведите примеры, иллюстрирующие понятие «перпендикулярные плоскости», используя предметы окружающей обстановки.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. В окружающей нас обстановке можно найти множество примеров, иллюстрирующих это понятие. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения через одну и ту же точку.

Вот несколько примеров из повседневной жизни:

• Стена и пол: В любой комнате плоскость вертикальной стены и плоскость горизонтального пола являются классическим примером перпендикулярных плоскостей. Линия их пересечения — это прямая, идущая вдоль плинтуса.
• Две смежные стены: Две стены, которые сходятся в углу комнаты, также перпендикулярны друг другу. Их линия пересечения — это вертикальная линия угла.
• Полка и стена: Плоскость книжной полки, прикрепленной горизонтально к стене, перпендикулярна плоскости стены.
• Дверь и пол: Плоскость двери, установленной вертикально, перпендикулярна плоскости пола. Также, если открыть дверь на $90^\circ$, то ее плоскость будет перпендикулярна плоскости стены.
• Смежные грани прямоугольных предметов: Любые две соседние грани (стороны) предмета прямоугольной формы, такого как книга, шкаф, коробка, кирпич или системный блок компьютера, являются перпендикулярными плоскостями.
• Сиденье и спинка стула: Если у стула прямая вертикальная спинка, то ее плоскость перпендикулярна плоскости сиденья.

Ответ: Примерами перпендикулярных плоскостей в окружающей обстановке являются: плоскость стены и плоскость пола; плоскости двух смежных стен; плоскость полки и стена, к которой она прикреплена; смежные грани книги, коробки или шкафа.

14.2. На рисунке 14.9 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Определите, перпендикулярны ли плоскости:

1) $A_1B_1C_1$ и $CDD_1$;

2) $ABC$ и $A_1B_1C_1$;

3) $AA_1C_1$ и $ABC$;

4) $ACC_1$ и $BDD_1$.

Рис. 14.9

В данной задаче мы будем использовать признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

1) $A_1B_1C_1$ и $CDD_1$

Плоскость $A_1B_1C_1$ — это плоскость верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость $CDD_1$ — это плоскость боковой грани $CDD_1C_1$.

Рассмотрим ребро $D_1C_1$. Оно лежит в плоскости $A_1B_1C_1$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то грань $CDD_1C_1$ является квадратом, и все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, ребро $D_1C_1$ перпендикулярно ребру $DD_1$ ($D_1C_1 \perp DD_1$) и ребру $C_1C$ ($D_1C_1 \perp C_1C$).

Также, поскольку грань $A_1B_1C_1D_1$ перпендикулярна грани $CDD_1C_1$, то любая прямая в одной грани, перпендикулярная линии их пересечения ($C_1D_1$), будет перпендикулярна другой грани. Это не самый простой путь.

Воспользуемся признаком перпендикулярности плоскостей. Плоскость $CDD_1$ содержит ребро $DD_1$. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $DD_1 \perp D_1A_1$ и $DD_1 \perp D_1C_1$.

Поскольку плоскость $CDD_1$ проходит через прямую $DD_1$, перпендикулярную плоскости $A_1B_1C_1$, то эти плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

2) $ABC$ и $A_1B_1C_1$

Плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются плоскостями нижнего и верхнего оснований куба соответственно. В кубе, как и в любой прямой призме, плоскости оснований параллельны друг другу ($ABC \parallel A_1B_1C_1$). Параллельные плоскости не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, не перпендикулярны (они параллельны).

3) $AA_1C_1$ и $ABC$

Плоскость $AA_1C_1$ — это диагональная плоскость $AA_1C_1C$. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания.

Плоскость $AA_1C_1$ проходит через боковое ребро $AA_1$. В кубе боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, $AA_1 \perp ABC$.

Так как плоскость $AA_1C_1$ проходит через прямую $AA_1$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскости $AA_1C_1$ и $ABC$ перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

4) $ACC_1$ и $BDD_1$

Плоскости $ACC_1$ (она же $AA_1C_1C$) и $BDD_1$ (она же $BB_1D_1D$) — это диагональные сечения куба.

Рассмотрим прямую $BD$, которая лежит в плоскости $BDD_1$. Докажем, что эта прямая перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

1. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, $BD \perp AC$.

2. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABC$. Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $ABC$, то $AA_1 \perp BD$.

Итак, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Поскольку плоскость $BDD_1$ проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $ACC_1$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости $ACC_1$ и $BDD_1$ перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

14.3. Верно ли утверждение:

1) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна плоскости $\beta$;

2) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то плоскость $\alpha$ перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости $\beta$;

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

1) если плоскости α и β перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости α, перпендикулярна плоскости β;

Утверждение неверно. Рассмотрим две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть $l$ — линия их пересечения, то есть $l = \alpha \cap \beta$. Прямая $l$ лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$. По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Рассмотрим прямую $l$, которая лежит в плоскости $\alpha$. Чтобы утверждение было верным, прямая $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\beta$. Но прямая $l$ не может быть перпендикулярна плоскости $\beta$, поскольку она сама лежит в этой плоскости. Более общий контрпример: возьмем любую прямую $a$ в плоскости $\alpha$, которая не перпендикулярна линии пересечения $l$. Например, прямую $a$, параллельную $l$. Такая прямая $a$ не будет перпендикулярна прямой $l$, а значит, не может быть перпендикулярна и всей плоскости $\beta$. Перпендикулярна плоскости $\beta$ будет лишь та прямая из плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна линии пересечения $l$. Поскольку утверждение говорит о любой прямой, оно является ложным.

Ответ: неверно.

2) если плоскости α и β перпендикулярны, то плоскость α перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости β;

Утверждение неверно. Перпендикулярность плоскости и прямой означает, что данная прямая перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, утверждение можно переформулировать: если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, параллельная плоскости $\beta$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $l$. Рассмотрим прямую $b$, параллельную плоскости $\beta$. По определению, это значит, что в плоскости $\beta$ существует прямая $b'$, такая что $b \parallel b'$. В качестве прямой $b'$ выберем саму линию пересечения $l$, так как $l \subset \beta$. Теперь рассмотрим прямую $b$, параллельную прямой $l$ ($b \parallel l$), и не лежащую в плоскости $\alpha$. Так как $b \parallel l$ и $l \subset \beta$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\beta$. Теперь проверим, перпендикулярна ли эта прямая $b$ плоскости $\alpha$. Поскольку $l \subset \alpha$ и $b \parallel l$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Прямая, параллельная плоскости, не может быть ей перпендикулярна. Следовательно, мы нашли прямую $b$, которая параллельна плоскости $\beta$, но не перпендикулярна плоскости $\alpha$. Значит, утверждение ложно.

Ответ: неверно.

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

Утверждение неверно. Рассмотрим наглядный контрпример. Пусть плоскость $\gamma$ — это плоскость пола. Пусть плоскость $\alpha$ — это одна из стен комнаты. Стена перпендикулярна полу, следовательно, $\alpha \perp \gamma$. Пусть плоскость $\beta$ — это смежная (соседняя) стена комнаты. Она также перпендикулярна полу, следовательно, $\beta \perp \gamma$. Таким образом, мы имеем две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые перпендикулярны третьей плоскости $\gamma$. Однако эти две плоскости (смежные стены) не параллельны друг другу — они пересекаются. Утверждение было бы верным, если бы плоскости $\alpha$ и $\beta$ были противоположными стенами комнаты, но оно должно выполняться во всех случаях, что не так. Более строгий пример: пусть дана плоскость $\gamma$ и прямая $m$, перпендикулярная плоскости $\gamma$. Любая плоскость, проходящая через прямую $m$, будет перпендикулярна плоскости $\gamma$. Можно провести через прямую $m$ бесконечно много различных плоскостей (как страницы раскрытой книги, стоящей на столе). Если мы возьмем две любые такие различные плоскости $\alpha$ и $\beta$, они обе будут перпендикулярны $\gamma$, но при этом будут пересекаться по прямой $m$, а не быть параллельными.

Ответ: неверно.

14.4. Опишите, как можно построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $ \alpha $ и $ \beta $. Для построения плоскости $ \gamma $, перпендикулярной обеим данным плоскостям, следует выполнить следующую последовательность действий.

Сначала нужно выбрать произвольную точку $ P $ в пространстве. Затем через эту точку $ P $ провести две прямые: прямую $ a $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $, и прямую $ b $, перпендикулярную плоскости $ \beta $. Поскольку плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются, а не параллельны, построенные прямые $ a $ и $ b $ также будут пересекаться в точке $ P $ и не будут совпадать. Две пересекающиеся прямые $ a $ и $ b $ однозначно задают плоскость. Эта плоскость и есть искомая плоскость $ \gamma $.

Правильность построения следует из признака перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. В нашем случае, построенная плоскость $ \gamma $ проходит через прямую $ a $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $, следовательно, $ \gamma \perp \alpha $. Аналогично, плоскость $ \gamma $ проходит через прямую $ b $, перпендикулярную плоскости $ \beta $, следовательно, $ \gamma \perp \beta $.

Альтернативный способ заключается в построении плоскости, перпендикулярной линии пересечения исходных плоскостей. Для этого нужно найти прямую $ l $, по которой пересекаются плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, а затем в любой точке пространства построить плоскость, перпендикулярную прямой $ l $. Эта плоскость также будет перпендикулярна и плоскости $ \alpha $, и плоскости $ \beta $.

Ответ: Чтобы построить плоскость, перпендикулярную двум пересекающимся плоскостям, необходимо выбрать произвольную точку, провести через неё прямые, перпендикулярные каждой из данных плоскостей. Плоскость, определённая этими двумя пересекающимися прямыми, будет искомой. Другой способ — построить плоскость, перпендикулярную линии пересечения данных плоскостей.

14.5. Плоскости прямоугольников $ABCD$ и $CBFE$ перпендикулярны (рис. 14.10).

1) Верно ли утверждение: а) $BF \perp AB$; б) $BE \perp BD$; в) $BE \perp AB$?

2) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AD$ и расстояние от точки $D$ до прямой $BF$, если $AB = BF = 5$ см, $BC = 12$ см.

По условию, плоскости прямоугольников ABCD и CBFE перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая BC.

Так как CBFE — прямоугольник, то его сторона BF перпендикулярна смежной стороне BC ($BF \perp BC$). Поскольку прямая BF лежит в плоскости (CBFE) и перпендикулярна линии пересечения плоскостей (BC), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, BF перпендикулярна плоскости (ABCD), т.е. $BF \perp (ABCD)$.

Аналогично, так как ABCD — прямоугольник, то $AB \perp BC$. Поскольку прямая AB лежит в плоскости (ABCD) и перпендикулярна линии пересечения плоскостей (BC), то AB перпендикулярна плоскости (CBFE), т.е. $AB \perp (CBFE)$.

Мы доказали, что прямая BF перпендикулярна плоскости (ABCD). Прямая AB лежит в этой плоскости. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $BF \perp AB$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Предположим, что $BE \perp BD$. Тогда треугольник EBD должен быть прямоугольным с прямым углом при вершине B, и для него должна выполняться теорема Пифагора: $ED^2 = EB^2 + BD^2$.

Обозначим длины сторон: $AB=CD=a$, $BC=AD=FE=b$, $BF=CE=c$.

Найдем квадраты длин сторон треугольника EBD:
1. BD — диагональ прямоугольника ABCD. Из прямоугольного треугольника ABD ($ \angle A = 90^\circ $): $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2$.
2. BE — диагональ прямоугольника CBFE. Из прямоугольного треугольника BFE ($ \angle F = 90^\circ $): $BE^2 = BF^2 + FE^2 = c^2 + b^2$.
3. ED — наклонная к плоскости (ABCD). Поскольку $CE \parallel BF$ и $BF \perp (ABCD)$, то $CE \perp (ABCD)$. Значит, $CE \perp CD$. Из прямоугольного треугольника ECD ($ \angle C = 90^\circ $): $ED^2 = CE^2 + CD^2 = c^2 + a^2$.

Теперь проверим равенство $ED^2 = EB^2 + BD^2$:
$a^2 + c^2 = (c^2 + b^2) + (a^2 + b^2)$
$a^2 + c^2 = a^2 + c^2 + 2b^2$
$0 = 2b^2$

Это равенство верно только если $b=0$, то есть длина стороны BC равна нулю, что невозможно для прямоугольника. Следовательно, наше предположение неверно и $BE$ не перпендикулярно $BD$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Мы доказали, что прямая AB перпендикулярна плоскости (CBFE). Прямая BE лежит в этой плоскости. По определению, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AB \perp BE$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Найдем расстояние от точки E до прямой AD.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

По условию, CBFE — прямоугольник, значит $CE \parallel BF$. Из пункта 1 мы знаем, что $BF \perp (ABCD)$. Следовательно, и $CE \perp (ABCD)$. Это означает, что CE — перпендикуляр из точки E к плоскости ABCD, а отрезок CD — проекция наклонной ED на плоскость ABCD.

Так как ABCD — прямоугольник, то его сторона $CD$ перпендикулярна стороне $AD$ ($CD \perp AD$).

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной (CD) перпендикулярна прямой на плоскости (AD), то и сама наклонная (ED) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $ED \perp AD$.

Длина отрезка ED и есть искомое расстояние. Найдем ее из прямоугольного треугольника ECD (угол C равен 90°, так как $CE \perp (ABCD)$, а CD лежит в этой плоскости).

По условию и из свойств прямоугольников имеем:
$CE = BF = 5$ см.
$CD = AB = 5$ см.

По теореме Пифагора: $ED^2 = CE^2 + CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.

$ED = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Найдем расстояние от точки D до прямой BF.

Как было установлено, прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Прямая BD лежит в плоскости (ABCD) и проходит через точку B. По определению, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Следовательно, $BF \perp BD$.

Это означает, что отрезок BD является перпендикуляром от точки D к прямой BF. Его длина и есть искомое расстояние.

BD — диагональ прямоугольника ABCD. Найдем ее длину из прямоугольного треугольника BCD ($ \angle C = 90^\circ $).

По условию, $BC = 12$ см, $CD = AB = 5$ см.

По теореме Пифагора: $BD^2 = BC^2 + CD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

$BD = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: расстояние от точки E до прямой AD равно $5\sqrt{2}$ см; расстояние от точки D до прямой BF равно 13 см.