Номер 5, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 5, страница 131.

Условие.

14.5. Плоскости прямоугольников $ABCD$ и $CBFE$ перпендикулярны (рис. 14.10).

1) Верно ли утверждение: а) $BF \perp AB$; б) $BE \perp BD$; в) $BE \perp AB$?

2) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AD$ и расстояние от точки $D$ до прямой $BF$, если $AB = BF = 5$ см, $BC = 12$ см.

Решение 1.

Решение 3.

1)

По условию, плоскости прямоугольников ABCD и CBFE перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая BC.

Так как CBFE — прямоугольник, то его сторона BF перпендикулярна смежной стороне BC ($BF \perp BC$). Поскольку прямая BF лежит в плоскости (CBFE) и перпендикулярна линии пересечения плоскостей (BC), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, BF перпендикулярна плоскости (ABCD), т.е. $BF \perp (ABCD)$.

Аналогично, так как ABCD — прямоугольник, то $AB \perp BC$. Поскольку прямая AB лежит в плоскости (ABCD) и перпендикулярна линии пересечения плоскостей (BC), то AB перпендикулярна плоскости (CBFE), т.е. $AB \perp (CBFE)$.

а) Верно ли утверждение $BF \perp AB$?

Мы доказали, что прямая BF перпендикулярна плоскости (ABCD). Прямая AB лежит в этой плоскости. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $BF \perp AB$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

б) Верно ли утверждение $BE \perp BD$?

Предположим, что $BE \perp BD$. Тогда треугольник EBD должен быть прямоугольным с прямым углом при вершине B, и для него должна выполняться теорема Пифагора: $ED^2 = EB^2 + BD^2$.

Обозначим длины сторон: $AB=CD=a$, $BC=AD=FE=b$, $BF=CE=c$.

Найдем квадраты длин сторон треугольника EBD:
1. BD — диагональ прямоугольника ABCD. Из прямоугольного треугольника ABD ($ \angle A = 90^\circ $): $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2$.
2. BE — диагональ прямоугольника CBFE. Из прямоугольного треугольника BFE ($ \angle F = 90^\circ $): $BE^2 = BF^2 + FE^2 = c^2 + b^2$.
3. ED — наклонная к плоскости (ABCD). Поскольку $CE \parallel BF$ и $BF \perp (ABCD)$, то $CE \perp (ABCD)$. Значит, $CE \perp CD$. Из прямоугольного треугольника ECD ($ \angle C = 90^\circ $): $ED^2 = CE^2 + CD^2 = c^2 + a^2$.

Теперь проверим равенство $ED^2 = EB^2 + BD^2$:
$a^2 + c^2 = (c^2 + b^2) + (a^2 + b^2)$
$a^2 + c^2 = a^2 + c^2 + 2b^2$
$0 = 2b^2$

Это равенство верно только если $b=0$, то есть длина стороны BC равна нулю, что невозможно для прямоугольника. Следовательно, наше предположение неверно и $BE$ не перпендикулярно $BD$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) Верно ли утверждение $BE \perp AB$?

Мы доказали, что прямая AB перпендикулярна плоскости (CBFE). Прямая BE лежит в этой плоскости. По определению, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AB \perp BE$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

2)

Найдем расстояние от точки E до прямой AD.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

По условию, CBFE — прямоугольник, значит $CE \parallel BF$. Из пункта 1 мы знаем, что $BF \perp (ABCD)$. Следовательно, и $CE \perp (ABCD)$. Это означает, что CE — перпендикуляр из точки E к плоскости ABCD, а отрезок CD — проекция наклонной ED на плоскость ABCD.

Так как ABCD — прямоугольник, то его сторона $CD$ перпендикулярна стороне $AD$ ($CD \perp AD$).

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной (CD) перпендикулярна прямой на плоскости (AD), то и сама наклонная (ED) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $ED \perp AD$.

Длина отрезка ED и есть искомое расстояние. Найдем ее из прямоугольного треугольника ECD (угол C равен 90°, так как $CE \perp (ABCD)$, а CD лежит в этой плоскости).

По условию и из свойств прямоугольников имеем:
$CE = BF = 5$ см.
$CD = AB = 5$ см.

По теореме Пифагора: $ED^2 = CE^2 + CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.

$ED = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Найдем расстояние от точки D до прямой BF.

Как было установлено, прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Прямая BD лежит в плоскости (ABCD) и проходит через точку B. По определению, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Следовательно, $BF \perp BD$.

Это означает, что отрезок BD является перпендикуляром от точки D к прямой BF. Его длина и есть искомое расстояние.

BD — диагональ прямоугольника ABCD. Найдем ее длину из прямоугольного треугольника BCD ($ \angle C = 90^\circ $).

По условию, $BC = 12$ см, $CD = AB = 5$ см.

По теореме Пифагора: $BD^2 = BC^2 + CD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

$BD = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: расстояние от точки E до прямой AD равно $5\sqrt{2}$ см; расстояние от точки D до прямой BF равно 13 см.