Номер 4, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 131.

Условие.

14.4. Опишите, как можно построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $ \alpha $ и $ \beta $. Для построения плоскости $ \gamma $, перпендикулярной обеим данным плоскостям, следует выполнить следующую последовательность действий.

Сначала нужно выбрать произвольную точку $ P $ в пространстве. Затем через эту точку $ P $ провести две прямые: прямую $ a $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $, и прямую $ b $, перпендикулярную плоскости $ \beta $. Поскольку плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются, а не параллельны, построенные прямые $ a $ и $ b $ также будут пересекаться в точке $ P $ и не будут совпадать. Две пересекающиеся прямые $ a $ и $ b $ однозначно задают плоскость. Эта плоскость и есть искомая плоскость $ \gamma $.

Правильность построения следует из признака перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. В нашем случае, построенная плоскость $ \gamma $ проходит через прямую $ a $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $, следовательно, $ \gamma \perp \alpha $. Аналогично, плоскость $ \gamma $ проходит через прямую $ b $, перпендикулярную плоскости $ \beta $, следовательно, $ \gamma \perp \beta $.

Альтернативный способ заключается в построении плоскости, перпендикулярной линии пересечения исходных плоскостей. Для этого нужно найти прямую $ l $, по которой пересекаются плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, а затем в любой точке пространства построить плоскость, перпендикулярную прямой $ l $. Эта плоскость также будет перпендикулярна и плоскости $ \alpha $, и плоскости $ \beta $.

Ответ: Чтобы построить плоскость, перпендикулярную двум пересекающимся плоскостям, необходимо выбрать произвольную точку, провести через неё прямые, перпендикулярные каждой из данных плоскостей. Плоскость, определённая этими двумя пересекающимися прямыми, будет искомой. Другой способ — построить плоскость, перпендикулярную линии пересечения данных плоскостей.