Номер 8, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 132.

Условие.

14.8. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$ (рис. 14.12). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) $ABM$ и $ABC$;

2) $ABM$ и $CBM$;

3) $AMB$ и $AMD$.

Рис. 14.12

Решение 1.

Решение 3.

1) ABM и ABC;
По условию задачи отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Плоскость квадрата $ABCD$ – это плоскость $ABC$. Таким образом, $MB \perp (ABC)$.
Плоскость $ABM$ проходит через прямую $MB$.
Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Так как плоскость $ABM$ содержит прямую $MB$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$, то $(ABM) \perp (ABC)$.
Ответ: перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $ABC$ доказана.

2) ABM и CBM;
Поскольку $ABCD$ – квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, то есть $BC \perp AB$.
По условию $MB \perp (ABC)$, а это значит, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. Следовательно, $MB \perp BC$.
Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $MB$) в плоскости $ABM$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, $BC \perp (ABM)$.
Плоскость $CBM$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $ABM$.
По признаку перпендикулярности плоскостей, $(CBM) \perp (ABM)$.
Ответ: перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $CBM$ доказана.

3) AMB и AMD.
Так как $ABCD$ – квадрат, то $AD \perp AB$.
По условию $MB \perp (ABC)$, следовательно, $MB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AD$. Таким образом, $MB \perp AD$.
Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $MB$) в плоскости $AMB$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $AMB$, то есть $AD \perp (AMB)$.
Плоскость $AMD$ проходит через прямую $AD$, которая перпендикулярна плоскости $AMB$.
Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, $(AMD) \perp (AMB)$.
Ответ: перпендикулярность плоскостей $AMB$ и $AMD$ доказана.