Номер 12, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 12, страница 133.

Условие.

14.12. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$ и $BC$ и перпендикулярной плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение:

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $BC$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Искомое сечение — это плоскость $\alpha$, которая проходит через точки $M$ и $N$ и перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

1. Точки $M$ и $N$ принадлежат как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения этих двух плоскостей. Отрезок $MN$ — это след сечения на грани $ABCD$.

2. По условию, секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. В прямоугольном параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, например, $BB_1 \perp (ABC)$.

Если плоскость ($\alpha$) перпендикулярна другой плоскости ($(ABC)$), то она проходит через прямую, перпендикулярную этой плоскости, либо параллельна такой прямой. Следовательно, плоскость $\alpha$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда.

3. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную ребру $BB_1$. Эта прямая лежит в грани $ABB_1A_1$. Пусть она пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Так как $M$ — середина $AB$ и $MP \parallel BB_1$, то по теореме Фалеса точка $P$ — середина ребра $A_1B_1$. Отрезок $MP$ — это след сечения на грани $ABB_1A_1$.

4. Аналогично, проведём через точку $N$ прямую, параллельную ребру $CC_1$ (или $BB_1$). Эта прямая лежит в грани $BCC_1B_1$. Пусть она пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $Q$. Так как $N$ — середина $BC$ и $NQ \parallel CC_1$, то точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Отрезок $NQ$ — это след сечения на грани $BCC_1B_1$.

5. Соединим точки $P$ и $Q$, лежащие в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $PQ$ является следом сечения на этой грани.

Таким образом, искомое сечение — это четырёхугольник $MNQP$.

Докажем, что $MNQP$ — прямоугольник.

• В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $PQ$ является средней линией, следовательно, $PQ \parallel A_1C_1$ и $PQ = \frac{1}{2}A_1C_1$.
• Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $AC \parallel A_1C_1$ и $AC = A_1C_1$. Отсюда следует, что $MN \parallel PQ$ и $MN = PQ$. Значит, $MNQP$ — параллелограмм.
• По построению $MP \parallel BB_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, $BB_1 \perp (ABC)$, а значит $BB_1 \perp MN$, так как $MN \subset (ABC)$. Поскольку $MP \parallel BB_1$, то и $MP \perp MN$.
• Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Следовательно, искомое сечение — это прямоугольник $MNQP$.

Ответ: Искомое сечение — прямоугольник $MNQP$, где $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $BC$ соответственно, а $P$ и $Q$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно.