Номер 19, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 19, страница 133.

Условие.

14.19. Плоскости квадрата $ABCD$ и прямоугольника $AEFD$ перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$, если площадь квадрата равна $25 \text{ см}^2$, а площадь прямоугольника – $60 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 3.

1. Найдём стороны фигур.
Поскольку ABCD — квадрат и его площадь $S_{ABCD} = 25$ см², то длина его стороны равна $AB = AD = \sqrt{25} = 5$ см. Поскольку AEFD — прямоугольник с площадью $S_{AEFD} = 60$ см² и одной стороной $AD = 5$ см, то длина другой его стороны равна $AE = \frac{S_{AEFD}}{AD} = \frac{60}{5} = 12$ см.

2. Определим взаимное расположение прямых.
В квадрате ABCD противолежащие стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel AD$.
В прямоугольнике AEFD противолежащие стороны параллельны, следовательно, $EF \parallel AD$.
Так как прямые $BC$ и $EF$ параллельны одной и той же прямой $AD$, они параллельны между собой: $BC \parallel EF$.

3. Найдём расстояние между параллельными прямыми.
Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. По условию, плоскости (ABCD) и (AEFD) перпендикулярны, и они пересекаются по прямой $AD$. В плоскости прямоугольника (AEFD) проведена прямая $AE$, перпендикулярная линии пересечения $AD$ ($AE \perp AD$, так как AEFD — прямоугольник). По свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, прямая $AE$ перпендикулярна плоскости (ABCD).

Поскольку прямая $AE$ перпендикулярна плоскости (ABCD), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BC$. Таким образом, $AE \perp BC$. Также, в квадрате ABCD смежные стороны перпендикулярны, то есть $AB \perp BC$. Получаем, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AE$ и $AB$) в плоскости (ABE). Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости (ABE).

Так как прямая $BE$ лежит в плоскости (ABE), то $BC \perp BE$. Поскольку $BC \parallel EF$, то из $BC \perp BE$ следует, что и $EF \perp BE$. Таким образом, отрезок $BE$ является общим перпендикуляром к параллельным прямым $BC$ и $EF$, и его длина есть искомое расстояние.

4. Вычислим длину отрезка BE.
Рассмотрим треугольник ABE. Так как $AE \perp (ABCD)$, то $AE$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в этой плоскости. Значит, $AE \perp AB$, и треугольник ABE является прямоугольным с прямым углом A. По теореме Пифагора: $BE^2 = AB^2 + AE^2$ $BE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $BE = \sqrt{169} = 13$ см.

Расстояние между прямыми $BC$ и $EF$ равно 13 см.
Ответ: 13 см.