Номер 16, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16, страница 133.

Условие.

14.16. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, точка $B$ – в плоскости $\beta$. Точка $A$ удалена от линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ на 5 см, а точка $B$ – на $5\sqrt{2}$ см. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$, если угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ равен $30^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.Из точки $A$, лежащей в плоскости $\alpha$, опустим перпендикуляр $AC$ на линию $l$. Длина этого перпендикуляра есть расстояние от точки $A$ до линии пересечения, следовательно, $AC = 5$ см. Так как $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии пересечения $l$, то $AC$ перпендикулярна плоскости $\beta$.Из точки $B$, лежащей в плоскости $\beta$, опустим перпендикуляр $BD$ на линию $l$. Длина этого перпендикуляра есть расстояние от точки $B$ до линии пересечения, следовательно, $BD = 5\sqrt{2}$ см. Так как $BD$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна линии пересечения $l$, то $BD$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.Проекцией прямой $AB$ на плоскость $\beta$ является прямая $BC$. Следовательно, угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол $\angle ABC$. По условию, $\angle ABC = 30^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он является прямоугольным, так как $AC \perp \beta$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$, что означает $\angle ACB = 90^\circ$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$Подставим известные значения:$\sin(30^\circ) = \frac{5}{AB}$$\frac{1}{2} = \frac{5}{AB}$Отсюда находим длину отрезка $AB$:$AB = 10$ см.

Теперь найдём угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$. Обозначим этот угол как $\phi$.Проекцией прямой $AB$ на плоскость $\alpha$ является прямая $AD$. Следовательно, искомый угол $\phi$ — это угол $\angle BAD$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он является прямоугольным, так как $BD \perp \alpha$, а прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, что означает $\angle ADB = 90^\circ$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\phi) = \sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB}$Подставим известные значения $BD = 5\sqrt{2}$ см и $AB = 10$ см:$\sin(\phi) = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Отсюда находим угол $\phi$:$\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.