Номер 17, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17, страница 133.

Условие.

14.17. Концы отрезка длиной 6 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 3 см и $3\sqrt{3}$ см. Найдите углы, которые образует этот отрезок с данными плоскостями.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть их линия пересечения — прямая $c$. Обозначим отрезок как $AB$, где точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ — плоскости $\beta$ ($B \in \beta$). Длина отрезка $AB = 6$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Пусть $AC$ — перпендикуляр из точки $A$ на прямую $c$ ($C \in c$). Тогда по условию $AC = 3$ см. Так как $A \in \alpha$ и $c \subset \alpha$, то и отрезок $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

Пусть $BD$ — перпендикуляр из точки $B$ на прямую $c$ ($D \in c$). Тогда по условию $BD = 3\sqrt{3}$ см. Так как $B \in \beta$ и $c \subset \beta$, то и отрезок $BD$ лежит в плоскости $\beta$.

Рассмотрим пространственную фигуру, образованную точками $A, B, C, D$. Отрезки $AC$, $BD$ и $CD$ (расстояние между основаниями перпендикуляров на прямой $c$) являются взаимно перпендикулярными. Связь между длиной отрезка $AB$ и длинами этих трех отрезков выражается формулой, аналогичной теореме Пифагора в пространстве:

$AB^2 = CD^2 + AC^2 + BD^2$

Подставим известные значения в эту формулу:

$6^2 = CD^2 + 3^2 + (3\sqrt{3})^2$

$36 = CD^2 + 9 + 27$

$36 = CD^2 + 36$

Отсюда следует, что $CD^2 = 0$, а значит, расстояние $CD = 0$. Это означает, что точки $C$ и $D$ совпадают. Таким образом, перпендикуляры из точек $A$ и $B$ к линии пересечения $c$ опущены в одну и ту же точку, которую мы обозначим $C$.

В результате мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$, так как:

1. $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

2. $BC$ лежит в плоскости $\beta$ ($BC \subset \beta$).

3. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

Следовательно, прямые $AC$ и $BC$ перпендикулярны, и угол $\angle ACB = 90^{\circ}$. Катетами этого треугольника являются отрезки $AC = 3$ см и $BC = 3\sqrt{3}$ см, а гипотенузой — отрезок $AB = 6$ см.

Угол, который образует отрезок с плоскостью $\alpha$

Угол между наклонной (отрезком $AB$) и плоскостью ($\alpha$) — это угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость. Проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$ является сама точка $A$. Так как $BC \perp \alpha$, проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$ является точка $C$. Следовательно, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC$. Искомый угол $\phi_{\alpha}$ равен углу $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.

Найдём синус этого угла:

$\sin(\phi_{\alpha}) = \sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого следует, что угол $\phi_{\alpha} = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$

Угол, который образует отрезок с плоскостью $\beta$

Аналогично, угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол между отрезком $AB$ и его проекцией на плоскость $\beta$. Проекцией точки $B$ на плоскость $\beta$ является сама точка $B$. Так как $AC \perp \beta$, проекцией точки $A$ на плоскость $\beta$ является точка $C$. Следовательно, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $BC$. Искомый угол $\phi_{\beta}$ равен углу $\angle ABC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.

Найдём синус этого угла:

$\sin(\phi_{\beta}) = \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что угол $\phi_{\beta} = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$