Номер 10, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 132.

Условие.

14.10. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, точка $M$ не принадлежит плоскости $ABC$ (рис. 14.14). Докажите, что если $MA = MC$ и $MB = MD$, то плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Рис. 14.14

Рис. 14.15

Решение 1.

Решение 3.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию $MA = MC$, следовательно, треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Значит, $O$ – середина диагонали $AC$.

3. Отрезок $MO$ соединяет вершину $M$ с серединой противолежащей стороны $AC$ в треугольнике $AMC$, то есть $MO$ – медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MO \perp AC$.

4. Аналогично рассмотрим треугольник $BMD$. По условию $MB = MD$, следовательно, треугольник $BMD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

5. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. Таким образом, отрезок $MO$ является медианой в треугольнике $BMD$, проведенной к основанию $BD$.

6. В равнобедренном треугольнике $BMD$ медиана $MO$ является и высотой. Следовательно, $MO \perp BD$.

7. Мы установили, что прямая $MO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, которые лежат в плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$ (то есть $MO \perp (ABC)$).

8. Плоскость $BMD$ проходит через прямую $MO$ (так как точки $M$ и $O$ принадлежат этой плоскости), а прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $BMD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.