Номер 14, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 133.

Условие.

14.14. Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояние от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 15 см и 16 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения данных плоскостей, равно 12 см. Найдите данный отрезок.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — две данные перпендикулярные плоскости, а $l$ — линия их пересечения.Пусть $AB$ — данный отрезок, такой что точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ — в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$).

По условию, расстояние от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равно 15 см и 16 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Пусть $A_1$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Тогда $AA_1 \perp l$, и длина отрезка $AA_1$ равна расстоянию от точки $A$ до прямой $l$. Пусть $|AA_1| = 15$ см. Так как $A \in \alpha$ и $A_1 \in l \subset \alpha$, то отрезок $AA_1$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Аналогично, пусть $B_1$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $l$. Тогда $BB_1 \perp l$, и $|BB_1| = 16$ см. Отрезок $BB_1$ полностью лежит в плоскости $\beta$.

Расстояние между основаниями этих перпендикуляров, точками $A_1$ и $B_1$ на прямой $l$, равно 12 см. Таким образом, $|A_1B_1| = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1B$. Он лежит в плоскости $\beta$. Так как $BB_1 \perp l$ и отрезок $A_1B_1$ лежит на прямой $l$, то угол $\angle BB_1A_1$ является прямым. Следовательно, треугольник $A_1B_1B$ — прямоугольный.По теореме Пифагора найдем гипотенузу $A_1B$:$|A_1B|^2 = |A_1B_1|^2 + |BB_1|^2$$|A_1B|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$$|A_1B| = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AA_1B$.Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то прямая $AA_1$, лежащая в плоскости $\alpha$ и перпендикулярная линии пересечения $l$, будет перпендикулярна всей плоскости $\beta$.Поскольку $AA_1 \perp \beta$, то $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку $A_1$. Прямая $A_1B$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $A_1$. Следовательно, $AA_1 \perp A_1B$.Таким образом, треугольник $AA_1B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$, которая и является искомым отрезком:$|AB|^2 = |AA_1|^2 + |A_1B|^2$$|AB|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$|AB| = \sqrt{625} = 25$ см.

Задачу можно также решить, заметив, что искомый отрезок $AB$ является пространственной диагональю прямоугольного параллелепипеда с измерениями, равными 12 см, 15 см и 16 см. Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов его измерений:$|AB|^2 = 12^2 + 15^2 + 16^2 = 144 + 225 + 256 = 625$$|AB| = 25$ см.

Ответ: 25 см.