Номер 20, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 20, страница 133.

Условие.

14.20. Докажите, что если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны некоторой плоскости, то данные плоскость и прямая параллельны.

Решение 1.

Решение 3.

14.20.

Для доказательства утверждения введём обозначения. Пусть $\alpha$ — данная плоскость, $a$ — данная прямая, не лежащая в этой плоскости ($a \not\subset \alpha$), и $\beta$ — плоскость, которой перпендикулярны и плоскость $\alpha$, и прямая $a$. Это означает, что $\alpha \perp \beta$ и $a \perp \beta$. Нам нужно доказать, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Доказательство проведём в несколько шагов:

1. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, они пересекаются по некоторой прямой. В плоскости $\alpha$ мы можем построить прямую $b$, перпендикулярную этой линии пересечения. Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из них, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости. Следовательно, построенная нами прямая $b$ будет перпендикулярна плоскости $\beta$. Таким образом, мы нашли прямую $b$, для которой выполняются условия: $b \subset \alpha$ и $b \perp \beta$.

2. По условию задачи, прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

3. Теперь мы имеем две прямые, $a$ и $b$, каждая из которых перпендикулярна одной и той же плоскости $\beta$. По теореме о двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости, следует, что эти прямые параллельны друг другу: $a \parallel b$.

4. Рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$. Нам известно, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ (это дано в условии), но при этом она параллельна прямой $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ (это мы установили в ходе построения).

5. Применим признак параллельности прямой и плоскости. Он гласит: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Так как $a \not\subset \alpha$ и $a \parallel b$, где $b \subset \alpha$, мы можем сделать вывод, что $a \parallel \alpha$.

Таким образом, мы доказали исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны некоторой плоскости, то данные плоскость и прямая параллельны.