Номер 24, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 24, страница 134.

Условие.

14.24. Точка $M$ – середина ребра $A_1B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и точку $M$.

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $CC_1D_1$.

3) Найдите площадь сечения, если $AD = 10$ см, $AB = 8$ см, $AA_1 = 6$ см.

Решение 1.

Решение 3.

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую AD и точку M.

Плоскость сечения содержит прямую $AD$, поэтому отрезок $AD$ является стороной искомого сечения. Плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает плоскость нижнего основания $ABCD$ по прямой $AD$. Следовательно, она пересекает плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ по прямой, параллельной $AD$. Проведем в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ через точку $M$ прямую, параллельную $A_1D_1$ (так как $AD || A_1D_1$). Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в точке $N$. Поскольку $M$ — середина $A_1B_1$ и $MN || A_1D_1$, то по свойству прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$, точка $N$ будет серединой ребра $C_1D_1$. Соединив последовательно точки $A$, $D$, $N$ и $M$, получим искомое сечение — четырехугольник $ADNM$.
Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $ADNM$, где $N$ — середина ребра $C_1D_1$.

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости CC₁D₁.

Для доказательства перпендикулярности плоскости сечения $ADNM$ и плоскости грани $CC_1D_1$ воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Докажем, что прямая $AD$, лежащая в плоскости сечения, перпендикулярна плоскости $CC_1D_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то его основание $ABCD$ — прямоугольник. Из этого следует, что $AD \perp CD$. Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, следовательно, $DD_1 \perp AD$. Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $DD_1$) в плоскости $CC_1D_1$, следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $CC_1D_1$. Поскольку плоскость сечения $ADNM$ проходит через прямую $AD$, то по указанному признаку плоскость $ADNM$ перпендикулярна плоскости $CC_1D_1$.
Ответ: Доказано.

3) Найдите площадь сечения, если AD = 10 см, AB = 8 см, AA₁ = 6 см.

Как было показано при построении, $MN || AD$ и $MN = A_1D_1 = AD$. Следовательно, $ADNM$ — параллелограмм. Докажем, что этот параллелограмм является прямоугольником. Ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$, так как $AD \perp AB$ (по свойству прямоугольника $ABCD$) и $AD \perp AA_1$ (по свойству прямоугольного параллелепипеда). Так как прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AM$. Таким образом, $\angle DAM = 90^\circ$, и сечение $ADNM$ является прямоугольником.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: $S_{ADNM} = AD \cdot AM$.
По условию, $AD = 10$ см. Длину $AM$ найдем из прямоугольного треугольника $AA_1M$ (угол $\angle AA_1M = 90^\circ$). Катет $AA_1 = 6$ см. Катет $A_1M$ равен половине ребра $A_1B_1$, так как $M$ — середина $A_1B_1$. $A_1B_1 = AB = 8$ см, значит $A_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
По теореме Пифагора:$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.
Отсюда $AM = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.
Теперь найдем площадь сечения:$S_{ADNM} = AD \cdot AM = 10 \cdot 2\sqrt{13} = 20\sqrt{13}$ см$^2$.
Ответ: $20\sqrt{13}$ см$^2$.