Номер 28, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 28, страница 134.

Условие.

14.28. Плоскости квадратов $ABCD$ и $BEFD$ перпендикулярны, $AB = a$.

Найдите расстояние между прямыми:

1) $BE$ и $DF$;

2) $BE$ и $CD$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку $ABCD$ и $BEFD$ — квадраты, а их плоскости перпендикулярны, мы можем ввести трехмерную систему координат для решения задачи. Пусть вершина $B$ находится в начале координат $B(0, 0, 0)$. Поместим квадрат $ABCD$ в плоскость $Oxy$. Так как $AB = a$, то координаты вершин этого квадрата будут: $B(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$ и $D(a, a, 0)$.

Квадрат $BEFD$ имеет общую диагональ $BD$ с квадратом $ABCD$. Длина этой диагонали: $BD = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как $BD$ является диагональю квадрата $BEFD$, то сторона этого квадрата, например $BE$, равна $a$. ($BE^2 + ED^2 = BD^2 \implies 2BE^2 = (a\sqrt{2})^2 \implies 2BE^2 = 2a^2 \implies BE = a$).

Плоскость $BEFD$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ ($z=0$) и проходит через прямую $BD$. Центр квадрата $BEFD$ (и квадрата $ABCD$) — это середина диагонали $BD$, точка $O(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$. Вторая диагональ $EF$ квадрата $BEFD$ перпендикулярна $BD$ и, так как плоскости перпендикулярны, $EF$ будет перпендикулярна всей плоскости $ABCD$. Значит, вектор $\vec{EF}$ будет коллинеарен оси $Oz$.

Длина половины диагонали $EF$ равна длине половины диагонали $BD$: $OE = OF = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, координаты вершин $E$ и $F$ (с учетом их симметричного расположения относительно плоскости $ABCD$) будут: $E(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2})$ и $F(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{2}}{2})$.

1) BE и DF;

Найдем направляющие векторы прямых $BE$ и $DF$. Для прямой $BE$: вектор $\vec{v_1} = \vec{BE} = E - B = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2})$. Для прямой $DF$: вектор $\vec{v_2} = \vec{DF} = F - D = (\frac{a}{2} - a, \frac{a}{2} - a, -\frac{a\sqrt{2}}{2} - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{2}}{2})$.

Так как $\vec{v_2} = -1 \cdot \vec{v_1}$, векторы коллинеарны, а значит, прямые $BE$ и $DF$ параллельны. Расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой. Найдем расстояние от точки $D(a, a, 0)$ (принадлежащей прямой $DF$) до прямой $BE$.

Прямая $BE$ проходит через точку $B(0, 0, 0)$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$. Расстояние $d$ от точки $D$ до прямой $BE$ вычисляется по формуле: $d = \frac{|\vec{BD} \times \vec{v_1}|}{|\vec{v_1}|}$.

Найдем вектор $\vec{BD} = D - B = (a, a, 0)$. Вычислим векторное произведение: $\vec{BD} \times \vec{v_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{2}}{2} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} - 0) - \mathbf{j}(a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} - 0) + \mathbf{k}(a \cdot \frac{a}{2} - a \cdot \frac{a}{2}) = (\frac{a^2\sqrt{2}}{2}, -\frac{a^2\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Найдем модуль этого вектора: $|\vec{BD} \times \vec{v_1}| = \sqrt{(\frac{a^2\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{a^2\sqrt{2}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^4 \cdot 2}{4} + \frac{a^4 \cdot 2}{4}} = \sqrt{\frac{a^4}{2} + \frac{a^4}{2}} = \sqrt{a^4} = a^2$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{v_1}$: $|\vec{v_1}| = |\vec{BE}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.

Тогда искомое расстояние: $d = \frac{a^2}{a} = a$.

Ответ: $a$

2) BE и CD.

Прямые $BE$ и $CD$ являются скрещивающимися. Найдем расстояние между ними. Прямая $BE$ проходит через точку $B(0,0,0)$ с направляющим вектором $\vec{v_1} = \vec{BE} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2})$. Прямая $CD$ проходит через точку $C(0,a,0)$ с направляющим вектором $\vec{v_3} = \vec{CD} = D - C = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $B$, $C$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$, $\vec{v_3}$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|(\vec{BC}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_3})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_3}|}$.

Найдем вектор $\vec{BC} = C - B = (0, a, 0)$. Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_3}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{2}}{2} \\ a & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(0 - a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}) + \mathbf{k}(0 - a \cdot \frac{a}{2}) = (0, \frac{a^2\sqrt{2}}{2}, -\frac{a^2}{2})$.

Найдем модуль этого вектора: $|\vec{v_1} \times \vec{v_3}| = \sqrt{0^2 + (\frac{a^2\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{a^2}{2})^2} = \sqrt{\frac{2a^4}{4} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{\frac{3a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем смешанное произведение $(\vec{BC}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_3})$: $(\vec{BC}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) = (0, a, 0) \cdot (0, \frac{a^2\sqrt{2}}{2}, -\frac{a^2}{2}) = 0 \cdot 0 + a \cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot (-\frac{a^2}{2}) = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

Искомое расстояние: $d = \frac{|\frac{a^3\sqrt{2}}{2}|}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$