Номер 34, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 34, страница 135.

Условие.

14.34. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, трапеция равнобокая, значит $AB = CD$. Меньшее основание $BC = a$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$, поэтому $\angle BAC = \angle CAD$. Так как основания трапеции параллельны, углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Отсюда следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC = a$. Поскольку трапеция равнобокая, то и $CD = AB = a$. Итак, мы установили, что три стороны трапеции равны $a$: $AB = BC = CD = a$.

По второму условию, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, что означает $\angle ACD = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным. Пусть $\angle CAD = \alpha$. Тогда, так как $AC$ — биссектриса, полный острый угол трапеции $\angle BAD = 2\alpha$. В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 2\alpha$.

Сумма углов в треугольнике $ACD$ равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$.

Следовательно, острые углы трапеции при большем основании равны $2\alpha = 60^\circ$. Теперь найдем длину большего основания $AD$ из прямоугольного треугольника $ACD$. В этом треугольнике нам известен катет $CD = a$ и противолежащий ему угол $\angle CAD = 30^\circ$.

$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$
$\sin(30^\circ) = \frac{a}{AD}$
$\frac{1}{2} = \frac{a}{AD}$
$AD = 2a$.

Для нахождения площади трапеции необходима ее высота. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD = a$, а угол $\angle CDH = \angle CDA = 60^\circ$. Высота $h = CH$ находится как катет, противолежащий углу $60^\circ$:

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDA) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$. Подставляем все найденные значения:

$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.