Номер 33, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 33, страница 134.

Условие.

14.33. Плоскости равностороннего треугольника $AMB$ и квадрата $ABCD$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ и равностороннего треугольника $AMB$ равна $a$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$. Обозначим искомый угол как $\alpha$.

Для нахождения проекции прямой $MD$ на плоскость $ABC$ опустим перпендикуляр из точки $M$ на эту плоскость. Проведем в равностороннем треугольнике $AMB$ высоту $MK$ к стороне $AB$. Так как треугольник $AMB$ равносторонний, его высота $MK$ является также и медианой, поэтому точка $K$ — середина стороны $AB$.

По условию задачи плоскости $(AMB)$ и $(ABC)$ перпендикулярны. Прямая $MK$ лежит в плоскости $(AMB)$ и перпендикулярна линии пересечения плоскостей $AB$. По свойству перпендикулярных плоскостей, прямая $MK$ перпендикулярна всей плоскости $(ABC)$.

Следовательно, отрезок $KD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABC)$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между наклонной $MD$ и ее проекцией $KD$, то есть $\alpha = \angle MDK$.

Рассмотрим треугольник $MDK$. Так как $MK \perp (ABC)$, то $MK$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $KD$. Значит, треугольник $MDK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MKD$.

Найдем длины катетов $MK$ и $KD$:

1. $MK$ — высота равностороннего треугольника со стороной $a$. Ее длина вычисляется по формуле: $MK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. $KD$ — отрезок, лежащий в плоскости квадрата. Найдем его длину из прямоугольного треугольника $AKD$, где $\angle A = 90^\circ$. Мы знаем, что $AD = a$ и $AK = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:$KD^2 = AK^2 + AD^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{5a^2}{4}$.Отсюда $KD = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Теперь, зная оба катета в прямоугольном треугольнике $MDK$, можем найти тангенс искомого угла $\alpha = \angle MDK$:$\text{tg}(\alpha) = \frac{MK}{KD} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$.