Номер 35, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 35, страница 135.

Условие.

14.35. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей – 42 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи дано:

$a = 15$ см

$d_1 + d_2 = 42$ см

Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле через его диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Важным свойством ромба является то, что его диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба ($a$).

Применим теорему Пифагора к одному из этих треугольников:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Упростим это соотношение:

$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставим известное значение стороны $a = 15$ см:

$d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 15^2 = 4 \cdot 225 = 900$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $d_1 + d_2 = 42$

2) $d_1^2 + d_2^2 = 900$

Чтобы найти произведение $d_1 d_2$, которое необходимо для вычисления площади, возведем в квадрат первое уравнение системы:

$(d_1 + d_2)^2 = 42^2$

$d_1^2 + 2d_1 d_2 + d_2^2 = 1764$

Мы знаем из второго уравнения, что $d_1^2 + d_2^2 = 900$. Подставим это значение в полученное выражение:

$900 + 2d_1 d_2 = 1764$

Теперь решим это уравнение относительно $2d_1 d_2$:

$2d_1 d_2 = 1764 - 900$

$2d_1 d_2 = 864$

Для нахождения площади нам нужно значение $\frac{1}{2} d_1 d_2$. Мы можем найти его, разделив обе части последнего равенства на 4:

$S = \frac{2d_1 d_2}{4} = \frac{864}{4} = 216$

Таким образом, площадь ромба составляет 216 см².

Ответ: 216 см².