Номер 32, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 32, страница 134.

Условие.

14.32. Точка M равноудалена от вершин квадрата ABCD и находится на расстоянии $4\sqrt{2}$ см от его плоскости. Найдите расстояние от центра квадрата ABCD до плоскости CMD, если сторона квадрата равна 4 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O$ - центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата, ее проекция на плоскость квадрата совпадает с центром описанной окружности, то есть с точкой $O$. Следовательно, отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$.

Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата, то есть $MO = 4\sqrt{2}$ см.

Сторона квадрата $ABCD$ равна 4 см. Расстояние, которое нам нужно найти, - это расстояние от точки $O$ до плоскости $CMD$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $CMD$.

Для нахождения этого расстояния построим вспомогательные элементы. Проведем в плоскости квадрата отрезок $OK$, где $K$ - середина стороны $CD$. Так как $OK$ - это расстояние от центра квадрата до стороны, его длина равна половине стороны квадрата: $OK = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. Также $OK \perp CD$.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Поскольку $MO \perp (ABCD)$, а $OK$ лежит в этой плоскости, то $MO \perp OK$. Значит, треугольник $MOK$ - прямоугольный.

В плоскости $CMD$ проведем медиану $MK$. Так как треугольник $CMD$ равнобедренный ($MC=MD$ как наклонные с равными проекциями $OC=OD$), то медиана $MK$ является также и высотой, то есть $MK \perp CD$.

Найдем длину гипотенузы $MK$ в прямоугольном треугольнике $MOK$ по теореме Пифагора:$MK^2 = MO^2 + OK^2 = (4\sqrt{2})^2 + 2^2 = 32 + 4 = 36$$MK = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь найдем искомое расстояние. Так как $CD \perp OK$ и $CD \perp MK$, то прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $MOK$, а значит $CD \perp (MOK)$.Поскольку плоскость $CMD$ проходит через прямую $CD$, перпендикулярную плоскости $MOK$, то плоскости $CMD$ и $MOK$ взаимно перпендикулярны. Линия их пересечения - прямая $MK$.

Расстояние от точки $O$ до плоскости $CMD$ будет равно длине перпендикуляра $OH$, проведенного из точки $O$ к линии пересечения плоскостей $MK$ в плоскости $MOK$. Таким образом, $OH$ - это высота прямоугольного треугольника $MOK$, проведенная к гипотенузе $MK$.

Площадь треугольника $MOK$ можно выразить двумя способами:$S_{\triangle MOK} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot OH$Отсюда можем выразить $OH$:$MO \cdot OK = MK \cdot OH$$OH = \frac{MO \cdot OK}{MK}$

Подставим известные значения:$OH = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.