Номер 31, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 31, страница 134.

Условие.

14.31. Точка $M$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$ и находится на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите расстояние от центра треугольника $ABC$ до плоскости $AMB$, если сторона данного треугольника равна $12\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Поскольку точка $M$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$, то её проекция на плоскость треугольника $(ABC)$ совпадает с центром описанной около этого треугольника окружности. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения медиан (центр треугольника) совпадают. Следовательно, проекцией точки $M$ на плоскость $(ABC)$ является точка $O$.

Из этого следует, что отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$. По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника равно 8 см, значит, $MO = 8$ см.

Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a = 12\sqrt{3}$ см. Найдем радиус $R$ описанной окружности и радиус $r$ вписанной окружности.

Радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины):
$R = OA = OB = OC = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см.

Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Тогда $OK$ — это радиус вписанной окружности. Для равностороннего треугольника $r = \frac{R}{2}$.
$r = OK = \frac{12}{2} = 6$ см.

Поскольку $OK$ является частью медианы $CK$, то $OK \perp AB$.В треугольнике $AMB$ стороны $MA$ и $MB$ равны, так как точка $M$ равноудалена от вершин $A$ и $B$. Следовательно, треугольник $AMB$ — равнобедренный. Его медиана $MK$ является также и высотой, то есть $MK \perp AB$.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $OK$ и $MK$, лежащим в плоскости $(MOK)$, то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(MOK)$.

Поскольку прямая $AB$ принадлежит плоскости $(AMB)$, то из перпендикулярности прямой $AB$ плоскости $(MOK)$ следует, что плоскость $(AMB)$ перпендикулярна плоскости $(MOK)$.

Искомое расстояние от точки $O$ (центра треугольника $ABC$) до плоскости $(AMB)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $(AMB)$. Так как плоскости $(MOK)$ и $(AMB)$ перпендикулярны, этот перпендикуляр будет лежать в плоскости $(MOK)$ и будет опущен на линию их пересечения, то есть на прямую $MK$.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Он прямоугольный, так как $MO \perp (ABC)$, а отрезок $OK$ лежит в этой плоскости, значит $MO \perp OK$.В этом треугольнике:

• катет $MO = 8$ см (по условию);
• катет $OK = r = 6$ см (как мы нашли ранее).

Найдем гипотенузу $MK$ по теореме Пифагора:$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Искомое расстояние — это высота $h$ прямоугольного треугольника $MOK$, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $MK$. Найдем эту высоту, используя метод площадей:Площадь треугольника $MOK$ можно вычислить двумя способами:$S_{MOK} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.$S_{MOK} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$.

Приравняем оба выражения:$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 24$$5h = 24$$h = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Ответ: 4,8 см.