Номер 30, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 30, страница 134.

Условие.

14.30. Параллелограмм $ABCD$ перегнули по диагонали $BD$ так, что плоскости $ABD$ и $CBD$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками $A$ и $C$, если $AB = 4$ см, $BD = 5$ см, $\angle ABD = 60^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $ABCD$ — исходный параллелограмм. Диагональ $BD$ делит его на два равных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Нам даны стороны $AB = 4$ см, $BD = 5$ см и угол между ними $\angle ABD = 60^\circ$. Опустим из вершины $A$ перпендикуляр $AH_1$ на сторону $BD$. Треугольник $ABH_1$ является прямоугольным. Найдем длину катетов $AH_1$ и $BH_1$:
$AH_1 = AB \cdot \sin(\angle ABD) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$BH_1 = AB \cdot \cos(\angle ABD) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

2. Рассмотрим треугольник $CDB$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $CD = AB = 4$ см, а углы $\angle CDB$ и $\angle ABD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$. Таким образом, $\angle CDB = 60^\circ$.
Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH_2$ на сторону $BD$. Треугольник $CDH_2$ является прямоугольным. Найдем длину катетов $CH_2$ и $DH_2$:
$CH_2 = CD \cdot \sin(\angle CDB) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$DH_2 = CD \cdot \cos(\angle CDB) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

3. После того как параллелограмм перегнули по диагонали $BD$, плоскости $(ABD)$ и $(CBD)$ стали взаимно перпендикулярны. Точки $A$ и $C$ теперь находятся в этих перпендикулярных плоскостях. Найдем расстояние между основаниями перпендикуляров $H_1$ и $H_2$ на общей прямой $BD$.
$H_1H_2 = BD - BH_1 - DH_2 = 5 - 2 - 2 = 1$ см.

4. Теперь найдем искомое расстояние $AC$ в новом пространственном положении. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора дважды.
Сначала рассмотрим плоскость $(ABD)$. В ней лежат точки $A$, $H_1$, $H_2$. Треугольник $AH_1H_2$ прямоугольный, так как $AH_1 \perp BD$. Найдем квадрат гипотенузы $AH_2$:
$AH_2^2 = AH_1^2 + H_1H_2^2 = (2\sqrt{3})^2 + 1^2 = 12 + 1 = 13$.
Теперь рассмотрим пространственную фигуру. Прямая $CH_2$ лежит в плоскости $(CBD)$ и перпендикулярна прямой $BD$. Так как плоскость $(CBD)$ перпендикулярна плоскости $(ABD)$, то прямая $CH_2$ перпендикулярна всей плоскости $(ABD)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. В частности, $CH_2 \perp AH_2$.
Следовательно, треугольник $ACH_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H_2$. Найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AH_2^2 + CH_2^2 = 13 + (2\sqrt{3})^2 = 13 + 12 = 25$.
$AC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.