Номер 26, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 26, страница 134.

Условие.

14.26. Плоскости квадрата $ABCD$ и треугольника $BEC$ перпендикулярны.

Найдите угол между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$, если $AB = 4$ см, $BE = CE = 8$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$.

Поскольку точка $D$ принадлежит плоскости $ABC$, ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $D$. Чтобы найти проекцию прямой $DE$, нам необходимо найти проекцию точки $E$ на плоскость $ABC$.

По условию, плоскости квадрата $(ABC)$ и треугольника $(BEC)$ перпендикулярны. Их общей линией пересечения является прямая $BC$. Проведем в треугольнике $BEC$ высоту $EM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $BEC$ равнобедренный ($BE=CE=8$ см), то его высота $EM$ является также и медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $BC$.

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если в одной из плоскостей провести прямую, перпендикулярную линии пересечения этих плоскостей, то эта прямая будет перпендикулярна и второй плоскости. Так как $EM$ лежит в плоскости $(BEC)$ и $EM \perp BC$, то $EM$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Следовательно, отрезок $EM$ является перпендикуляром от точки $E$ к плоскости $(ABC)$, а отрезок $DM$ — проекцией наклонной $DE$ на эту плоскость. Угол, который нам нужно найти, — это угол $\angle EDM$ в прямоугольном треугольнике $EDM$ (угол $\angle EMD = 90^\circ$).

Для нахождения угла $\angle EDM$ вычислим длины катетов $EM$ и $DM$.

$ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$ см, значит $BC=CD=4$ см. Так как $M$ — середина $BC$, то $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{4}{2} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $EMC$ ($\angle EMC = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $EM = \sqrt{EC^2 - MC^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMC$ ($\angle DCM = 90^\circ$, так как $ABCD$ — квадрат). По теореме Пифагора: $DM = \sqrt{DC^2 + MC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $EDM$ мы можем найти тангенс искомого угла: $\tan(\angle EDM) = \frac{EM}{DM} = \frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, равен $60^\circ$. Таким образом, искомый угол между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$ составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.