Номер 1, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 137.

Условие.

Сформулируйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника утверждает, что площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула, выражающая эту теорему, выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $S_{пр}$ — это площадь ортогональной проекции многоугольника.
• $S$ — это площадь исходного многоугольника.
• $\alpha$ — это двугранный угол между плоскостью, в которой расположен многоугольник, и плоскостью проекции (при этом $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$).

Обоснование (на примере треугольника):

Доказательство теоремы удобно провести сначала для треугольника, так как любой многоугольник можно разбить на конечное число треугольников (триангулировать).

1. Рассмотрим простой случай, когда одна из сторон треугольника $ABC$, например сторона $AB$, параллельна плоскости проекции $\pi$. Пусть $A_1B_1C_1$ — ортогональная проекция треугольника $ABC$ на плоскость $\pi$.

2. Поскольку $AB \parallel \pi$, длина ее проекции $A_1B_1$ равна длине самой стороны $AB$. Проведем высоты $CH$ в треугольнике $ABC$ и $C_1H_1$ в его проекции. $H_1$ является проекцией точки $H$.

3. Площадь исходного треугольника вычисляется как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

4. Площадь его проекции: $S_{пр} = S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot C_1H_1$.

5. Отрезок $C_1H_1$ является ортогональной проекцией высоты $CH$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $CH$, ее проекцией $C_1H_1$ и проектирующим лучом $CC_1$, видно, что катет $C_1H_1$ связан с гипотенузой $CH$ через косинус угла $\alpha$ между плоскостями: $C_1H_1 = CH \cdot \cos(\alpha)$.

6. Подставим полученные соотношения в формулу для площади проекции:

$S_{пр} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot C_1H_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (CH \cdot \cos(\alpha)) = \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\right) \cdot \cos(\alpha) = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$.

Теорема доказана для частного случая. Общий случай, когда ни одна из сторон треугольника не параллельна плоскости проекции, сводится к этому путем разбиения исходного треугольника на два. Так как любой многоугольник можно разбить на треугольники, а площадь проекции многоугольника равна сумме площадей проекций этих треугольников, то теорема верна для любого плоского многоугольника.

Ответ: Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Формула: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$, где $S$ - площадь многоугольника, $S_{пр}$ - площадь его проекции, $\alpha$ - угол между плоскостями.