Номер 7, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 137.

Условие.

15.7. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображённого на рисунке 15.4, равно 2 см. Используя теорему о площади ортогональной проекции, вычислите площадь сечения $AB_1C_1D$.

Рис. 15.4

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции: площадь проекции фигуры на плоскость ($S_{пр}$) равна произведению площади самой фигуры ($S_{сеч}$) на косинус угла ($\alpha$) между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. Формула имеет вид: $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$. Из этой формулы можно выразить искомую площадь сечения: $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$.

1. Нахождение проекции сечения и ее площади
В качестве плоскости проекции выберем плоскость основания куба $(ABCD)$. Ортогональной проекцией сечения $AB_1C_1D$ на эту плоскость будет четырехугольник $ABCD$. Это следует из того, что проекциями вершин $A$ и $D$ являются сами эти точки, а проекциями вершин $B_1$ и $C_1$ являются точки $B$ и $C$ соответственно, так как ребра $B_1B$ и $C_1C$ перпендикулярны плоскости основания.
Проекцией является квадрат $ABCD$. Его площадь равна квадрату ребра куба:
$S_{пр} = S_{ABCD} = a^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$.

2. Нахождение угла между плоскостями
Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $(AB_1C_1D)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это двугранный угол вдоль их линии пересечения $AD$. Величина этого угла равна углу между двумя перпендикулярами, проведенными к ребру $AD$ в одной точке, лежащими в этих плоскостях.
В плоскости основания $(ABCD)$ перпендикуляром к $AD$ является ребро $AB$.
В плоскости сечения $(AB_1C_1D)$ перпендикуляром к $AD$ является диагональ $AB_1$, так как ребро $AD$ перпендикулярно всей грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, любой прямой, лежащей в этой грани.
Таким образом, искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle BAB_1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$. Его катеты $AB$ и $BB_1$ равны ребру куба, то есть $AB = BB_1 = 2$ см. Так как катеты равны, этот треугольник является равнобедренным, а его острый угол $\angle BAB_1 = 45^\circ$.
Следовательно, $\alpha = 45^\circ$, а косинус этого угла равен $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычисление площади сечения
Теперь, зная площадь проекции и косинус угла, можем вычислить площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}^2$.