Номер 11, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 138.

Условие.

15.11. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 12 см, а стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны 10 см, 10 см и 12 см. Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

В нашем случае, треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$. Следовательно, $S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$.

Отсюда косинус угла $\alpha$ можно выразить как:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

Найдем площади обоих треугольников.

1. Площадь равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a = 12$ см вычисляется по формуле:

$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Площадь треугольника $A_1B_1C_1$. Это равнобедренный треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Для нахождения его площади проведем высоту $h$ к основанию, равному 12 см. Высота в равнобедренном треугольнике является также медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по 6 см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $A_1B_1C_1$:

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

3. Найдем угол $\alpha$. Подставим найденные значения площадей в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{48}{36\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 12}{3 \cdot 12 \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\alpha) = \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$

Следовательно, искомый угол равен:

$\alpha = \arccos\left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)$.