Номер 18, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 18, страница 139.

Условие.

15.18. В окружность вписан квадрат со стороной $6\sqrt{2}$ см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Решение 1.

Решение 3.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти радиус окружности по известной стороне вписанного в нее квадрата, а затем, зная этот радиус, найти сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

1. Найдем радиус окружности.

Сторона вписанного квадрата, обозначим ее $a_4$, равна $6\sqrt{2}$ см. Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата, связан с его стороной соотношением:
$R = \frac{a_4}{\sqrt{2}}$

Подставим в формулу значение стороны квадрата:
$R = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ см.

Итак, радиус окружности равен 6 см.

2. Найдем сторону правильного треугольника.

Для правильного треугольника, описанного около окружности, эта окружность является вписанной. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ для треугольника равен радиусу нашей окружности $R$.
$r = R = 6$ см.

Сторона правильного треугольника, обозначим ее $a_3$, связана с радиусом вписанной в него окружности $r$ следующей формулой:
$a_3 = 2\sqrt{3} \cdot r$

Подставим известное значение радиуса $r = 6$ см:
$a_3 = 2\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.