Номер 4, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

"Стереометрическое" расположение двух прямых. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 142.

Условие.

4. Даны три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Докажите, что существует четырёхугольная призма, три ребра которого лежат на данных прямых.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны три попарно скрещивающиеся прямые $l_1, l_2, l_3$. Обозначим их направляющие векторы как $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ соответственно. По условию, эти прямые не параллельны одной плоскости, что означает, что их направляющие векторы не компланарны, то есть их смешанное произведение не равно нулю: $(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{v_3} \neq 0$.

Мы докажем существование искомой четырехугольной призмы, построив ее. В нашей призме три ребра будут лежать на прямых $l_1, l_2, l_3$. Наиболее общая конфигурация трех попарно скрещивающихся ребер призмы — это одно боковое ребро и два ребра оснований (по одному на каждом). Назначим роли нашим прямым:

• Прямая $l_1$ будет содержать одно из боковых ребер призмы.
• Прямая $l_2$ будет содержать одно из ребер нижнего основания.
• Прямая $l_3$ будет содержать одно из ребер верхнего основания.

Доказательство проведем в несколько этапов.

1. Построение плоскостей оснований.

Боковые ребра любой призмы параллельны друг другу. Так как одно из них лежит на прямой $l_1$, все боковые ребра нашей призмы должны быть параллельны вектору $\vec{v_1}$.

Основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Обозначим плоскость нижнего основания как $\pi_1$, а верхнего — как $\pi_2$.

Поскольку ребро нижнего основания лежит на прямой $l_2$, вся прямая $l_2$ должна быть параллельна плоскости $\pi_1$. Аналогично, прямая $l_3$ должна быть параллельна плоскости $\pi_2$. Так как $\pi_1 \parallel \pi_2$, обе плоскости должны быть параллельны обеим прямым $l_2$ и $l_3$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскостям оснований должен быть перпендикулярен направляющим векторам прямых, параллельных этим плоскостям. Следовательно, $\vec{n} \perp \vec{v_2}$ и $\vec{n} \perp \vec{v_3}$. В качестве вектора нормали можно взять их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v_2} \times \vec{v_3}$. Поскольку прямые $l_2$ и $l_3$ скрещиваются, их векторы $\vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$ неколлинеарны, поэтому $\vec{n} \neq \vec{0}$.

Боковые ребра призмы не могут быть параллельны плоскостям оснований. Направление боковых ребер задается вектором $\vec{v_1}$. Условие их непараллельности плоскостям оснований — это $\vec{v_1} \cdot \vec{n} \neq 0$. Проверим: $\vec{v_1} \cdot \vec{n} = \vec{v_1} \cdot (\vec{v_2} \times \vec{v_3})$. Это смешанное произведение векторов $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$, которое не равно нулю по условию задачи. Таким образом, наша начальная расстановка ролей корректна.

Теперь определим точное положение плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$.

• Пусть $\pi_1$ — это единственная плоскость, содержащая прямую $l_2$ и параллельная прямой $l_3$.
• Пусть $\pi_2$ — это единственная плоскость, содержащая прямую $l_3$ и параллельная прямой $l_2$.

Эти плоскости параллельны друг другу (их общая нормаль — $\vec{n}$) и различны, так как $l_2$ и $l_3$ скрещиваются. Мы нашли плоскости оснований призмы.

2. Построение вершин и ребер.

Теперь построим вершины призмы. Обозначим вершины нижнего основания $A_1, A_2, A_3, A_4$, а верхнего — $B_1, B_2, B_3, B_4$, так что $A_iB_i$ — боковые ребра.

a) Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ скрещиваются, а $l_1$ и $l_3$ скрещиваются, существует единственная прямая $m$, параллельная $l_1$ и пересекающая как $l_2$, так и $l_3$. Найдем ее как пересечение двух плоскостей: плоскости, содержащей $l_2$ и параллельной $l_1$, и плоскости, содержащей $l_3$ и параллельной $l_1$. Обозначим точки пересечения: $A_3 = m \cap l_2$ и $B_3 = m \cap l_3$.

b) Отрезок $A_3B_3$ будет одним из боковых ребер нашей призмы. Вектор $\vec{T} = \vec{A_3B_3}$ задает смещение верхнего основания относительно нижнего. Этот вектор параллелен $\vec{v_1}$.

c) Боковое ребро $A_1B_1$ должно лежать на прямой $l_1$. Точка $A_1$ является вершиной нижнего основания и должна лежать в плоскости $\pi_1$. Точка $B_1$ — вершина верхнего основания и лежит в $\pi_2$. Так как $l_1$ не параллельна $\pi_1$, она пересекает ее в единственной точке. Определим вершину $A_1$ как точку пересечения прямой $l_1$ и плоскости $\pi_1$: $A_1 = l_1 \cap \pi_1$. Тогда вершина $B_1$ определяется смещением: $B_1 = A_1 + \vec{T}$. Так как $\vec{T}$ параллелен $l_1$, точка $B_1$ также будет лежать на прямой $l_1$. Таким образом, боковое ребро $A_1B_1$ лежит на прямой $l_1$.

d) Ребро нижнего основания должно лежать на прямой $l_2$. У нас уже есть вершина $A_3$ на прямой $l_2$. Выберем на $l_2$ любую другую точку $A_2$ ($A_2 \neq A_3$). Отрезок $A_2A_3$ будет ребром нижнего основания, лежащим на $l_2$. Вершина $B_2$ верхнего основания определяется как $B_2 = A_2 + \vec{T}$.

e) Ребро верхнего основания должно лежать на прямой $l_3$. У нас уже есть вершина $B_3$ на прямой $l_3$. Выберем на $l_3$ любую другую точку $B_4$ ($B_4 \neq B_3$). Отрезок $B_3B_4$ будет ребром верхнего основания, лежащим на $l_3$. Вершина $A_4$ нижнего основания определяется как $A_4 = B_4 - \vec{T}$.

3. Завершение построения и проверка.

Мы определили все восемь вершин призмы:

• Нижнее основание: $A_1, A_2, A_3, A_4$. Все они лежат в плоскости $\pi_1$. При общем положении прямых и произвольном выборе точек $A_2$ и $B_4$ эти четыре вершины образуют невырожденный четырехугольник.
• Верхнее основание: $B_1, B_2, B_3, B_4$. Каждая вершина $B_i$ получена из $A_i$ сдвигом на вектор $\vec{T}$. Следовательно, они лежат в плоскости $\pi_2$ и образуют четырехугольник, конгруэнтный нижнему основанию.

Построенная фигура является четырехугольной призмой. Проверим, лежат ли ее ребра на заданных прямых:

1. Боковое ребро $A_1B_1$ по построению лежит на прямой $l_1$.
2. Ребро нижнего основания $A_2A_3$ по построению лежит на прямой $l_2$.
3. Ребро верхнего основания $B_3B_4$ по построению лежит на прямой $l_3$.

Таким образом, мы построили четырехугольную призму, три ребра которой лежат на трех данных попарно скрещивающихся прямых. Существование такой призмы доказано.

Ответ: Утверждение доказано.