Номер 7, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

"Стереометрическое" расположение двух прямых. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 142.

Условие.

7. В пирамиде $DABC$ все рёбра равны $a$. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку в пирамиде $DABC$ все рёбра равны $a$, данная пирамида является правильным тетраэдром. Все её грани — равносторонние треугольники со стороной $a$. Прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися рёбрами этого тетраэдра.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

1. Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Рассмотрим отрезок $MN$ и докажем, что он является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle CAB$. Они оба равносторонние со стороной $a$. Отрезки $DM$ и $CM$ являются медианами, проведёнными к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Следовательно, $DM \perp AB$ и $CM \perp AB$.

3. Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DM$ и $CM$) в плоскости $CDM$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $CDM$. Поскольку отрезок $MN$ лежит в плоскости $CDM$, то $MN \perp AB$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CDM$. Найдём длины его сторон. $CD = a$ по условию. $CM$ и $DM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

5. Треугольник $\triangle CDM$ является равнобедренным с основанием $CD$. Отрезок $MN$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $N$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MN \perp CD$.

6. Мы доказали, что отрезок $MN$ перпендикулярен как прямой $AB$, так и прямой $CD$. Значит, длина отрезка $MN$ и есть искомое расстояние.

7. Найдём длину $MN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CMN$ (угол $\angle MNC = 90^\circ$). Катет $CN$ равен половине длины ребра $CD$, то есть $CN = \frac{a}{2}$. Гипотенуза $CM$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора:

$MN^2 = CM^2 - CN^2$

$MN^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

$MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$