Номер 10, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 138.

Условие.

15.10. Через одну из сторон ромба, диагонали которого равны 6 см и 12 см, проведена плоскость $ \alpha $, образующая с плоскостью ромба угол $ 30^\circ $. Найдите площадь проекции данного ромба на плоскость $ \alpha $.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо найти площадь ромба, а затем использовать формулу для площади проекции фигуры на плоскость.

1. Нахождение площади ромба (S)
Площадь ромба можно вычислить по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
По условию, диагонали ромба равны 6 см и 12 см. Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 3 \cdot 12 = 36$ см²

2. Нахождение площади проекции ($S_{пр}$)
Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость вычисляется по формуле:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\gamma)$
где $S$ — площадь исходной фигуры, а $\gamma$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
По условию, угол $\gamma$ равен $30°$. Площадь ромба $S = 36$ см².
Подставим значения в формулу:
$S_{пр} = 36 \cdot \cos(30°)$
Значение косинуса $30°$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$S_{пр} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см²

Ответ: $18\sqrt{3}$ см²