Номер 9, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 9, страница 138.

Условие.

15.9. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см, а боковая сторона – 8 см. Найдите площадь проекции данной трапеции на плоскость $\alpha$, если угол между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти площадь самой равнобокой трапеции, а затем найти площадь ее проекции на плоскость $\alpha$.

1. Нахождение площади трапеции.

Пусть основания трапеции $a = 18$ см и $b = 10$ см, а боковая сторона $c = 8$ см. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ – высота трапеции.

Для нахождения высоты проведем из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Так как трапеция равнобокая, эти перпендикуляры отсекают от большего основания два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна полуразности оснований:
$x = \frac{a-b}{2} = \frac{18-10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком $x$ (второй катет). По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + x^2 = c^2$
$h^2 + 4^2 = 8^2$
$h^2 + 16 = 64$
$h^2 = 64 - 16 = 48$
$h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции ($S_{трап}$):
$S_{трап} = \frac{18+10}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{28}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 14 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади проекции.

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
$S_{пр} = S_{трап} \cdot \cos(\gamma)$

По условию, угол $\gamma$ между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ равен $30°$. Значение косинуса этого угла: $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычисляем площадь проекции:
$S_{пр} = 56\sqrt{3} \cdot \cos(30°) = 56\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{56 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{56 \cdot 3}{2} = 28 \cdot 3 = 84$ см².

Ответ: $84$ см².