Номер 8, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 138.

Условие.

Рис. 15.5

15.8. Отрезок $DC$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$ (рис. 15.5). Найдите площадь треугольника $ADB$, если $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 8 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, а угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ равен $45^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

15.8.

По условию, отрезок $DC$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является ортогональной проекцией треугольника $ADB$ на плоскость $ABC$.

Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью самой фигуры через косинус угла между их плоскостями. Формула имеет вид:
$S_{проекции} = S_{фигуры} \cdot \cos{\alpha}$
где $\alpha$ — угол между плоскостями.

В нашем случае $S_{ABC} = S_{ADB} \cdot \cos{\alpha}$, где $\alpha$ — угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$, который по условию равен $45°$.

Сначала найдем площадь треугольника $ABC$. Так как $\angle ACB = 90°$, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Его площадь равна половине произведения катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40$ см².

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ADB$:
$S_{ADB} = \frac{S_{ABC}}{\cos{\alpha}} = \frac{S_{ABC}}{\cos{45°}}$

Так как $\cos{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$S_{ADB} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}} = \frac{80\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2}$ см².

Ответ: $40\sqrt{2}$ см².

15.9.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

Дано: основания $a = 10$ см, $b = 18$ см, боковая сторона $c = 8$ см.

Чтобы найти площадь, необходимо вычислить высоту $h$. В равнобокой трапеции, если провести две высоты из вершин меньшего основания к большему, они отсекут от большего основания два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна полуразности оснований:
$\frac{b-a}{2} = \frac{18-10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и вычисленным отрезком (второй катет). По теореме Пифагора:
$h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = c^2$
$h^2 + 4^2 = 8^2$
$h^2 + 16 = 64$
$h^2 = 64 - 16 = 48$
$h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту, можем найти площадь трапеции:
$S = \frac{10+18}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{28}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 14 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$ см².

Ответ: $56\sqrt{3}$ см².