Номер 2, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 131.

Условие.

14.2. На рисунке 14.9 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Определите, перпендикулярны ли плоскости:

1) $A_1B_1C_1$ и $CDD_1$;

2) $ABC$ и $A_1B_1C_1$;

3) $AA_1C_1$ и $ABC$;

4) $ACC_1$ и $BDD_1$.

Рис. 14.9

Решение 1.

Решение 3.

В данной задаче мы будем использовать признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

1) $A_1B_1C_1$ и $CDD_1$

Плоскость $A_1B_1C_1$ — это плоскость верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость $CDD_1$ — это плоскость боковой грани $CDD_1C_1$.

Рассмотрим ребро $D_1C_1$. Оно лежит в плоскости $A_1B_1C_1$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то грань $CDD_1C_1$ является квадратом, и все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, ребро $D_1C_1$ перпендикулярно ребру $DD_1$ ($D_1C_1 \perp DD_1$) и ребру $C_1C$ ($D_1C_1 \perp C_1C$).

Также, поскольку грань $A_1B_1C_1D_1$ перпендикулярна грани $CDD_1C_1$, то любая прямая в одной грани, перпендикулярная линии их пересечения ($C_1D_1$), будет перпендикулярна другой грани. Это не самый простой путь.

Воспользуемся признаком перпендикулярности плоскостей. Плоскость $CDD_1$ содержит ребро $DD_1$. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $DD_1 \perp D_1A_1$ и $DD_1 \perp D_1C_1$.

Поскольку плоскость $CDD_1$ проходит через прямую $DD_1$, перпендикулярную плоскости $A_1B_1C_1$, то эти плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

2) $ABC$ и $A_1B_1C_1$

Плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются плоскостями нижнего и верхнего оснований куба соответственно. В кубе, как и в любой прямой призме, плоскости оснований параллельны друг другу ($ABC \parallel A_1B_1C_1$). Параллельные плоскости не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, не перпендикулярны (они параллельны).

3) $AA_1C_1$ и $ABC$

Плоскость $AA_1C_1$ — это диагональная плоскость $AA_1C_1C$. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания.

Плоскость $AA_1C_1$ проходит через боковое ребро $AA_1$. В кубе боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, $AA_1 \perp ABC$.

Так как плоскость $AA_1C_1$ проходит через прямую $AA_1$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскости $AA_1C_1$ и $ABC$ перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

4) $ACC_1$ и $BDD_1$

Плоскости $ACC_1$ (она же $AA_1C_1C$) и $BDD_1$ (она же $BB_1D_1D$) — это диагональные сечения куба.

Рассмотрим прямую $BD$, которая лежит в плоскости $BDD_1$. Докажем, что эта прямая перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

1. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, $BD \perp AC$.

2. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABC$. Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $ABC$, то $AA_1 \perp BD$.

Итак, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Поскольку плоскость $BDD_1$ проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $ACC_1$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости $ACC_1$ и $BDD_1$ перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.