Номер 32, страница 253 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.32. Горная порода содержит 200 г урана-238 и 64 г свинца-206, который образовался из урана в результате цепочки радиоактивных распадов. Сколько процентов урана, изначально содержащегося в породе, распалось? Сколько литров гелия (н. у.) при этом образовалось?

Дано:

Масса урана-238, $m_{U} = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Масса свинца-206, $m_{Pb} = 64 \text{ г} = 0.064 \text{ кг}$

Молярная масса урана-238, $M_{U} \approx 238 \text{ г/моль} = 0.238 \text{ кг/моль}$

Молярная масса свинца-206, $M_{Pb} \approx 206 \text{ г/моль} = 0.206 \text{ кг/моль}$

Молярный объем газа при нормальных условиях (н. у.), $V_m = 22.4 \text{ л/моль} = 22.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\text{/моль}$

Найти:

Процент распавшегося урана, $w_{расп}$ - ?

Объем образовавшегося гелия, $V_{He}$ - ?

Решение:

Сначала запишем суммарное уравнение реакции радиоактивного распада урана-238 в свинец-206. Этот процесс включает в себя серию альфа- и бета-распадов.

$^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{206}_{82}\text{Pb} + x \cdot ^{4}_{2}\text{He} + y \cdot ^{0}_{-1}\text{e}$

Применим законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z), чтобы найти количество альфа-частиц ($x$) и бета-частиц ($y$).

Баланс массовых чисел: $238 = 206 + 4x \implies 4x = 32 \implies x = 8$.

Баланс зарядовых чисел: $92 = 82 + 2x - y \implies 92 = 82 + 2 \cdot 8 - y \implies 92 = 98 - y \implies y = 6$.

Таким образом, при распаде одного атома урана-238 образуется один атом свинца-206 и 8 ядер гелия. Это означает, что количество вещества (число молей) распавшегося урана равно количеству вещества образовавшегося свинца.

Сколько процентов урана, изначально содержащегося в породе, распалось?

1. Найдем количество вещества образовавшегося свинца-206:

$\nu_{Pb} = \frac{m_{Pb}}{M_{Pb}} = \frac{64 \text{ г}}{206 \text{ г/моль}}$

2. Количество вещества распавшегося урана равно количеству вещества свинца:

$\nu_{U, расп} = \nu_{Pb} = \frac{64}{206} \text{ моль}$

3. Вычислим массу распавшегося урана:

$m_{U, расп} = \nu_{U, расп} \cdot M_{U} = \frac{64}{206} \text{ моль} \cdot 238 \text{ г/моль} = \frac{15232}{206} \text{ г} \approx 73.94 \text{ г}$

4. Начальная масса урана в породе ($m_{U, нач}$) равна сумме массы оставшегося и массы распавшегося урана:

$m_{U, нач} = m_{U} + m_{U, расп} \approx 200 \text{ г} + 73.94 \text{ г} = 273.94 \text{ г}$

5. Найдем долю распавшегося урана в процентах:

$w_{расп} = \frac{m_{U, расп}}{m_{U, нач}} \cdot 100\% \approx \frac{73.94 \text{ г}}{273.94 \text{ г}} \cdot 100\% \approx 27\%$

Ответ: Распалось около 27% от начального количества урана.

Сколько литров гелия (н. у.) при этом образовалось?

1. Согласно уравнению реакции, при распаде одного моля урана образуется 8 молей гелия:

$\nu_{He} = 8 \cdot \nu_{U, расп} = 8 \cdot \nu_{Pb} = 8 \cdot \frac{64 \text{ г}}{206 \text{ г/моль}} = \frac{512}{206} \text{ моль} \approx 2.485 \text{ моль}$

2. Объем гелия при нормальных условиях (н. у.) найдем, умножив количество вещества на молярный объем газа ($V_m = 22.4$ л/моль):

$V_{He} = \nu_{He} \cdot V_m = \frac{512}{206} \text{ моль} \cdot 22.4 \text{ л/моль} \approx 55.7 \text{ л}$

С учетом точности исходных данных (64 г - две значащие цифры), ответ следует округлить до двух значащих цифр.

$V_{He} \approx 56 \text{ л}$

Ответ: Образовалось около 56 л гелия.