Номер 27, страница 253 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.27. Тритий при радиоактивном распаде превращается в гелий-3 с периодом полураспада 12,3 лет. Если взять чистый изотоп трития, то через сколько лет число атомов гелия будет в 7 раз больше числа атомов трития?

Дано:

Период полураспада трития: $T_{1/2} = 12,3$ лет.
Отношение числа атомов гелия к числу атомов трития в искомый момент времени: $\frac{N_{He}}{N_{T}} = 7$.
В начальный момент времени образец состоит из чистого трития.

Найти:

Время $t$, через которое установится данное соотношение атомов.

Решение:

Пусть $N_0$ — начальное число атомов трития. При радиоактивном распаде трития образуется гелий-3. Поскольку каждый распавшийся атом трития превращается в один атом гелия, то в любой момент времени $t$ сумма числа оставшихся атомов трития $N_T(t)$ и образовавшихся атомов гелия $N_{He}(t)$ равна начальному числу атомов трития:
$N_T(t) + N_{He}(t) = N_0$

По условию задачи, в искомый момент времени $t$ число атомов гелия в 7 раз больше числа атомов трития:
$N_{He}(t) = 7 \cdot N_T(t)$

Подставим это соотношение в уравнение сохранения числа ядер:
$N_T(t) + 7 \cdot N_T(t) = N_0$
$8 \cdot N_T(t) = N_0$
$N_T(t) = \frac{N_0}{8}$

Это означает, что к моменту времени $t$ должна остаться $\frac{1}{8}$ часть от начального количества атомов трития.

Теперь воспользуемся законом радиоактивного распада, который связывает долю нераспавшихся ядер со временем:
$N_T(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$
где $T_{1/2}$ — период полураспада.

Подставим в это уравнение найденное нами соотношение для $N_T(t)$:
$\frac{N_0}{8} = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Сократим обе части уравнения на $N_0$ и представим $\frac{1}{8}$ в виде степени двойки: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
$2^{-3} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$-3 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выражаем искомое время $t$:
$t = 3 \cdot T_{1/2}$

Подставим численное значение периода полураспада трития, данное в условии:
$t = 3 \cdot 12,3 \text{ лет} = 36,9 \text{ лет}$

Ответ: через 36,9 лет число атомов гелия будет в 7 раз больше числа атомов трития.