Номер 30, страница 253 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.30. В реакции радиоактивного распада 50% ядер распадается за 20 мин. За какое время распадается 25% ядер?

Дано:

Доля распавшихся ядер за время $t_1$: $\frac{\Delta N_1}{N_0} = 50\% = 0.5$

Время $t_1 = 20$ мин

Доля распавшихся ядер, для которых нужно найти время: $\frac{\Delta N_2}{N_0} = 25\% = 0.25$

Найти:

$t_2$

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Период полураспада — это время, в течение которого распадается половина (50%) от исходного числа радиоактивных ядер. Согласно условию задачи, 50% ядер распадаются за 20 минут. Это означает, что период полураспада данного вещества равен:

$T_{1/2} = t_1 = 20$ мин.

Требуется найти время $t_2$, за которое распадется 25% ядер. Если распалось 25% ядер, значит, нераспавшимися осталось $100\% - 25\% = 75\%$ от начального количества. Таким образом, в момент времени $t_2$ количество нераспавшихся ядер $N(t_2)$ будет равно:

$N(t_2) = (1 - 0.25) \cdot N_0 = 0.75 \cdot N_0$.

Подставим это соотношение в формулу закона радиоактивного распада:

$0.75 \cdot N_0 = N_0 \cdot 2^{-\frac{t_2}{T_{1/2}}}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$:

$0.75 = 2^{-\frac{t_2}{T_{1/2}}}$

Подставим известное значение $T_{1/2} = 20$ мин и представим десятичную дробь 0.75 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$:

$\frac{3}{4} = 2^{-\frac{t_2}{20}}$

Чтобы найти $t_2$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2\left(\frac{3}{4}\right) = \log_2\left(2^{-\frac{t_2}{20}}\right)$

Используя свойства логарифмов ($\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a(b) - \log_a(c)$ и $\log_a(a^x) = x$), получаем:

$\log_2(3) - \log_2(4) = -\frac{t_2}{20}$

Поскольку $\log_2(4) = \log_2(2^2) = 2$, уравнение принимает вид:

$\log_2(3) - 2 = -\frac{t_2}{20}$

Выразим $t_2$:

$t_2 = -20 \cdot (\log_2(3) - 2)$

$t_2 = 20 \cdot (2 - \log_2(3))$

Для вычисления воспользуемся приближенным значением логарифма: $\log_2(3) \approx 1.585$.

$t_2 \approx 20 \cdot (2 - 1.585) = 20 \cdot 0.415 \approx 8.3$ мин.

Ответ: 25% ядер распадается за время, приблизительно равное 8.3 мин.