Номер 29, страница 253 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.29. Оксид одного из долгоживущих изотопов кюрия, ${}^{244}\mathrm{CmO}_2,$ является «ядерным топливом» в радиоизотопных электрогенераторах – устройствах, преобразующих кинетическую энергию $\mathrm{\alpha }$-частиц в тепловую и затем – в электрическую энергию. В генератор поместили 966 г ${}^{244}\mathrm{CmO}_2,$ и за три года его тепловая мощность уменьшилась с 2386 до 2126 Вт (1 Вт = = 1 Дж/с). а) Запишите уравнение $\mathrm{\alpha }$-распада кюрия-244. б) Определите период полураспада ${}^{244}\mathrm{Cm}$ в) Рассчитайте среднюю кинетическую энергию $\mathrm{\alpha }$-частиц, образующихся при распаде радионуклида, в единицах электронвольт (1 Дж = $6,242 · {10}^{18} \mathrm{эВ}).$ При расчёте примите, что кинетическая энергия частиц полностью преобразуется в тепловую энергию.

Дано:

Масса оксида кюрия-244, $m(^{244}\text{CmO}_2) = 966 \text{ г}$
Время, $t = 3 \text{ года}$
Начальная тепловая мощность, $P_0 = 2386 \text{ Вт}$
Конечная тепловая мощность, $P = 2126 \text{ Вт}$
Соотношение единиц энергии, $1 \text{ Дж} = 6.242 \cdot 10^{18} \text{ эВ}$
Число Авогадро, $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$m(^{244}\text{CmO}_2) = 0.966 \text{ кг}$
$t = 3 \text{ года} \cdot 365.25 \frac{\text{дней}}{\text{год}} \cdot 24 \frac{\text{часов}}{\text{день}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{час}} = 94672800 \text{ с}$
$P_0 = 2386 \text{ Дж/с}$
$P = 2126 \text{ Дж/с}$

Найти:

а) Уравнение $\alpha$-распада кюрия-244.
б) Период полураспада $T_{1/2}$ для $^{244}$Cm.
в) Среднюю кинетическую энергию $E_k$ $\alpha$-частицы в электрон-вольтах (эВ).

Решение:

а) Альфа-распад — это вид радиоактивного распада ядра, в результате которого испускается $\alpha$-частица (ядро атома гелия $_{2}^{4}\text{He}$). Порядковый номер кюрия (Cm) в таблице Менделеева равен 96.

Уравнение распада в общем виде:$$_{Z}^{A}\text{X} \rightarrow _{Z-2}^{A-4}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$Для кюрия-244 ($A=244, Z=96$):$$_{96}^{244}\text{Cm} \rightarrow _{96-2}^{244-4}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$$$_{96}^{244}\text{Cm} \rightarrow _{94}^{240}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$Элемент с порядковым номером 94 — это плутоний (Pu). Таким образом, уравнение $\alpha$-распада кюрия-244 имеет вид:

Ответ: $_{96}^{244}\text{Cm} \rightarrow _{94}^{240}\text{Pu} + _{2}^{4}\text{He}$

б) Тепловая мощность генератора $P$ пропорциональна активности источника, которая, в свою очередь, пропорциональна числу нераспавшихся ядер $N$. Поэтому для мощности справедлив закон радиоактивного распада:$$P(t) = P_0 e^{-\lambda t}$$где $\lambda$ — постоянная распада.

Выразим постоянную распада $\lambda$:$$\frac{P}{P_0} = e^{-\lambda t} \implies \ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\lambda t \implies \lambda = \frac{1}{t}\ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$$Период полураспада $T_{1/2}$ связан с постоянной распада соотношением $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.Подставим выражение для $\lambda$:$$T_{1/2} = \frac{t \cdot \ln 2}{\ln\left(\frac{P_0}{P}\right)}$$Подставим числовые значения:$$T_{1/2} = \frac{3 \text{ года} \cdot \ln 2}{\ln\left(\frac{2386}{2126}\right)} \approx \frac{3 \cdot 0.6931}{0.1154} \approx 18.02 \text{ года}$$

Ответ: Период полураспада $^{244}$Cm составляет примерно 18.02 года.

в) Начальная тепловая мощность $P_0$ равна произведению средней кинетической энергии $E_k$, выделяющейся при одном акте распада, на начальную активность $A_0$ образца.$$P_0 = E_k \cdot A_0$$Начальная активность $A_0 = \lambda N_0$, где $N_0$ — начальное число ядер $^{244}$Cm.Следовательно:$$P_0 = E_k \cdot \lambda \cdot N_0 \implies E_k = \frac{P_0}{\lambda N_0}$$Найдем начальное число ядер $N_0$.Молярная масса оксида кюрия $M(^{244}\text{CmO}_2) = M(^{244}\text{Cm}) + 2 \cdot M(\text{O}) \approx 244 + 2 \cdot 16 = 276 \text{ г/моль}$.Количество вещества оксида кюрия:$$\nu = \frac{m(^{244}\text{CmO}_2)}{M(^{244}\text{CmO}_2)} = \frac{966 \text{ г}}{276 \text{ г/моль}} = 3.5 \text{ моль}$$Поскольку в каждой молекуле $^{244}\text{CmO}_2$ содержится один атом $^{244}$Cm, количество вещества кюрия-244 также равно $3.5 \text{ моль}$.Начальное число ядер $N_0$:$$N_0 = \nu \cdot N_A = 3.5 \text{ моль} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 2.1077 \cdot 10^{24}$$Подставим выражение для $\lambda = \frac{1}{t}\ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$ в формулу для $E_k$:$$E_k = \frac{P_0 \cdot t}{N_0 \cdot \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)}$$Рассчитаем энергию в джоулях:$$E_k = \frac{2386 \text{ Дж/с} \cdot 94672800 \text{ с}}{2.1077 \cdot 10^{24} \cdot \ln\left(\frac{2386}{2126}\right)} \approx \frac{2.259 \cdot 10^{11} \text{ Дж}}{2.1077 \cdot 10^{24} \cdot 0.1154} \approx 9.286 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$$Переведем энергию в электрон-вольты (эВ):$$E_k(\text{эВ}) = 9.286 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \cdot 6.242 \cdot 10^{18} \frac{\text{эВ}}{\text{Дж}} \approx 5.796 \cdot 10^6 \text{ эВ}$$Это значение можно представить как $5.80 \text{ МэВ}$.

Ответ: Средняя кинетическая энергия $\alpha$-частиц составляет $5.80 \cdot 10^6 \text{ эВ}$.