Номер 26, страница 253 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.26. Натрий-24 при радиоактивном распаде превращается в магний-24 с периодом полураспада 15 ч. Если взять чистый изотоп натрия, то через сколько часов число атомов магния будет в 15 раз больше числа атомов натрия?

Дано:

Период полураспада натрия-24, $T = 15$ ч
Соотношение числа атомов в искомый момент времени $t$: $\frac{N_{Mg}(t)}{N_{Na}(t)} = 15$

Найти:

Время $t$ — ?

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся атомов натрия-24 ($N_{Na}$) в зависимости от времени $t$:

$N_{Na}(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N_0$ — начальное количество атомов натрия-24, а $T$ — период полураспада.

В начальный момент времени ($t=0$) образец состоял из чистого изотопа натрия, поэтому количество атомов магния-24 ($N_{Mg}$) было равно нулю. При распаде каждый атом натрия-24 превращается в один атом магния-24. Следовательно, количество образовавшихся атомов магния-24 в момент времени $t$ равно количеству распавшихся атомов натрия-24:

$N_{Mg}(t) = N_0 - N_{Na}(t)$

Подставим в это уравнение выражение для $N_{Na}(t)$:

$N_{Mg}(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T} = N_0 (1 - 2^{-t/T})$

Согласно условию задачи, в некоторый момент времени $t$ число атомов магния будет в 15 раз больше числа атомов натрия:

$N_{Mg}(t) = 15 \cdot N_{Na}(t)$

Подставим выражения для $N_{Na}(t)$ и $N_{Mg}(t)$ в это соотношение:

$N_0 (1 - 2^{-t/T}) = 15 \cdot (N_0 \cdot 2^{-t/T})$

Сократим обе части уравнения на $N_0$ (начальное число атомов не равно нулю):

$1 - 2^{-t/T} = 15 \cdot 2^{-t/T}$

Перенесем слагаемые, содержащие $2^{-t/T}$, в правую часть:

$1 = 15 \cdot 2^{-t/T} + 2^{-t/T}$

$1 = 16 \cdot 2^{-t/T}$

Отсюда выразим $2^{-t/T}$:

$2^{-t/T} = \frac{1}{16}$

Представим $\frac{1}{16}$ как степень двойки: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

$2^{-t/T} = 2^{-4}$

Приравниваем показатели степени, так как основания равны:

$-\frac{t}{T} = -4$

$\frac{t}{T} = 4$

$t = 4T$

Подставим значение периода полураспада $T = 15$ ч:

$t = 4 \cdot 15 \text{ ч} = 60 \text{ ч}$

Ответ: через 60 часов число атомов магния будет в 15 раз больше числа атомов натрия.