Номер 3.2.7, страница 84, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.2.7. Плоская звуковая волна $s = A \cos \left[ \omega \left( t - \frac{l}{v} \right) \right]$ имеет период, равный 3 мс, ам-плитуду 0,2 мм и длину волны 1,2 м. Для точек среды, удаленных от источ-ника колебаний на расстояние 2 м, найдите: смещение от положения равно-весия в момент времени, равный 7 мс; скорость и ускорение для того же момента времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю. (Ответ: -0,1 мм; 36,3 см/с; 438 м/с².)

Дано:

Период, $T = 3 \text{ мс} = 3 \times 10^{-3} \text{ с}$

Амплитуда, $A = 0.2 \text{ мм} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ м}$

Длина волны, $\lambda = 1.2 \text{ м}$

Расстояние от источника, $l = 2 \text{ м}$

Момент времени, $t = 7 \text{ мс} = 7 \times 10^{-3} \text{ с}$

Начальная фаза, $\phi_0 = 0$

Найти:

Смещение, $s$ - ?

Скорость, $u$ - ?

Ускорение, $a$ - ?

Решение:

Уравнение плоской звуковой волны имеет вид: $s = A \cos\left[\omega\left(t - \frac{l}{v}\right)\right]$.

Найдем параметры волны: циклическую частоту $\omega$ и скорость распространения волны $v$.

Циклическая частота связана с периодом соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3 \times 10^{-3} \text{ с}} = \frac{2000\pi}{3} \text{ рад/с}$.

Скорость распространения волны найдем из связи с длиной волны и периодом:

$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{1.2 \text{ м}}{3 \times 10^{-3} \text{ с}} = 400 \text{ м/с}$.

Теперь, когда все параметры известны, можем найти искомые величины для точки на расстоянии $l=2$ м в момент времени $t=7$ мс.

смещение от положения равновесия

Подставим все известные значения в уравнение волны. Сначала вычислим фазу колебаний $\Phi$ в указанный момент времени в указанной точке:

$\Phi = \omega\left(t - \frac{l}{v}\right) = \frac{2000\pi}{3} \left(7 \times 10^{-3} - \frac{2}{400}\right) = \frac{2000\pi}{3} (7 \times 10^{-3} - 5 \times 10^{-3}) = \frac{2000\pi}{3} \times 2 \times 10^{-3} = \frac{4\pi}{3} \text{ рад}$.

Теперь найдем смещение $s$:

$s = A \cos(\Phi) = 0.2 \times 10^{-3} \text{ м} \times \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Поскольку $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0.5$, то:

$s = 0.2 \times 10^{-3} \text{ м} \times (-0.5) = -0.1 \times 10^{-3} \text{ м} = -0.1 \text{ мм}$.

Ответ: -0,1 мм.

скорость

Скорость $u$ колебательного движения частиц среды является первой производной смещения $s$ по времени $t$:

$u = \frac{\partial s}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( A \cos\left[\omega\left(t - \frac{l}{v}\right)\right] \right) = -A\omega \sin\left[\omega\left(t - \frac{l}{v}\right)\right]$.

Подставим значения, используя вычисленную ранее фазу $\Phi = \frac{4\pi}{3}$:

$u = -A\omega \sin(\Phi) = -(0.2 \times 10^{-3}) \times \frac{2000\pi}{3} \times \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Поскольку $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$u = -(0.2 \times 10^{-3}) \times \frac{2000\pi}{3} \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{0.2 \times 10^{-3} \times 2000\pi \times \sqrt{3}}{6} = \frac{200\pi\sqrt{3}}{3} \times 10^{-3} \text{ м/с}$.

$u \approx \frac{200 \times 3.1416 \times 1.732}{3} \times 10^{-3} \approx 362.8 \times 10^{-3} \text{ м/с} \approx 0.363 \text{ м/с} = 36.3 \text{ см/с}$.

Ответ: 36,3 см/с.

ускорение

Ускорение $a$ колебательного движения частиц среды является второй производной смещения $s$ по времени $t$ (или первой производной скорости $u$):

$a = \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( -A\omega \sin\left[\omega\left(t - \frac{l}{v}\right)\right] \right) = -A\omega^2 \cos\left[\omega\left(t - \frac{l}{v}\right)\right]$.

Также можно заметить, что $a = -\omega^2 s$.

Подставим значения:

$a = -A\omega^2 \cos(\Phi) = -\left(\frac{2000\pi}{3}\right)^2 s = -\left(\frac{2000\pi}{3}\right)^2 \times (-0.1 \times 10^{-3})$.

$a = \frac{4 \times 10^6 \pi^2}{9} \times 0.1 \times 10^{-3} = \frac{0.4 \times 10^3 \pi^2}{9} = \frac{400\pi^2}{9} \text{ м/с}^2$.

$a \approx \frac{400 \times (3.1416)^2}{9} \approx \frac{400 \times 9.8696}{9} \approx 438.65 \text{ м/с}^2$.

Данное значение практически совпадает с ответом, приведенным в задаче, и округляется до 438 или 439 в зависимости от правил округления.

Ответ: 438 м/с².