Номер 3.2.3, страница 84, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.2.3. Плоская незатухающая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты $\nu$. Амплитуда колебаний источника равна $\text{A}$. Напишите уравнение колебаний источника $x(0, t)$, если в начальный момент смещение точек источника максимально. Учтем, что скорость звука равна $340$ м/с. (Ответ: $x(0, t) = A \cos \left(2\pi\nu t - \frac{\pi\nu x}{170}\right).$)

Дано:

Частота колебаний источника: $v$

Амплитуда колебаний источника: $A$

Скорость звука: $c = 340 \text{ м/с}$

Начальное условие: в момент $t=0$ смещение точек источника (в $x=0$) максимально, т.е. $x(0, 0) = A$.

Найти:

Уравнение волны $x(x, t)$.

Решение:

Общее уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси $x$, имеет вид:

$x(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда, $\omega$ — угловая частота, $k$ — волновое число, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сначала запишем уравнение колебаний источника, находящегося в точке $x=0$. Для этого в общем уравнении волны положим $x=0$:

$x(0, t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

Угловая частота $\omega$ связана с частотой $v$, заданной в условии, соотношением:

$\omega = 2\pi v$

Подставив это в уравнение колебаний источника, получим:

$x(0, t) = A \cos(2\pi v t + \phi_0)$

По условию, в начальный момент времени $t=0$ смещение точек источника максимально, то есть $x(0, 0) = A$. Подставим $t=0$ в наше уравнение:

$x(0, 0) = A \cos(2\pi v \cdot 0 + \phi_0) = A \cos(\phi_0)$

Сравнивая с начальным условием, получаем:

$A = A \cos(\phi_0)$

$\cos(\phi_0) = 1$

Отсюда следует, что начальная фаза $\phi_0 = 0$ (можно взять любое значение $2\pi n$, где $n$ — целое число, но для простоты выбираем 0).

Таким образом, уравнение колебаний источника в точке $x=0$ имеет вид:

$x(0, t) = A \cos(2\pi v t)$

Звуковая волна, возбуждаемая этим источником, распространяется в пространстве. Колебание в любой точке $x$ в момент времени $t$ является повторением колебания источника, но со временем задержки $\tau$, равным времени, за которое волна дойдет от источника ($x=0$) до этой точки. Это время равно $\tau = x/c$.

Значит, смещение в точке $x$ в момент $t$ равно смещению в точке $x=0$ в более ранний момент времени $t' = t - \tau = t - x/c$.

$x(x, t) = x(0, t - x/c)$

Подставим в это соотношение найденное уравнение для источника $x(0,t)$:

$x(x, t) = A \cos\left(2\pi v (t - \frac{x}{c})\right)$

Раскроем скобки в аргументе косинуса:

$x(x, t) = A \cos\left(2\pi v t - \frac{2\pi v x}{c}\right)$

Теперь подставим числовое значение скорости звука $c = 340 \text{ м/с}$:

$x(x, t) = A \cos\left(2\pi v t - \frac{2\pi v x}{340}\right)$

Упростим дробь в аргументе:

$\frac{2\pi v x}{340} = \frac{\pi v x}{170}$

В итоге получаем искомое уравнение волны:

$x(x, t) = A \cos\left(2\pi v t - \frac{\pi v x}{170}\right)$

Примечание: в условии задачи допущена опечатка. Вместо уравнения волны $x(x, t)$ спрашивается об уравнении колебаний источника $x(0, t)$, однако в приведенном для сверки ответе фигурирует переменная $x$, что указывает на необходимость найти именно уравнение волны.

Ответ: $x(x, t) = A \cos\left(2\pi v t - \frac{\pi v x}{170}\right)$