Номер 3.2.4, страница 84, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.2.4. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний равна 15 см. Найдите смещение от положения равновесия точки, удаленной от источника на расстояние $l = \frac{1}{2} \lambda$ в момент, когда от начала колебаний прошло время $t = 0,5 T$. (Ответ: 0,15 м.)

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 15$ см

Расстояние от источника, $l = \frac{1}{2}\lambda$

Время, $t = 0,5 T$

Перевод в систему СИ:

$A = 0,15$ м

Найти:

Смещение от положения равновесия, $y$

Решение:

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль прямой линии (оси x), в общем виде записывается как:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

Здесь $y(x, t)$ – смещение точки с координатой $x$ в момент времени $t$, $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота, $k$ – волновое число, $\phi_0$ – начальная фаза колебаний источника.

Связь между этими величинами и параметрами волны (периодом $T$ и длиной волны $\lambda$) следующая:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

Подставив это в общее уравнение, получим:

$y(x, t) = A \cos\left(2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \phi_0\right)$

Поскольку в условии задачи не указана начальная фаза, мы должны сделать предположение. Ответ, приведенный в задаче (0,15 м, что равно амплитуде), указывает на то, что в искомой точке в заданный момент времени смещение максимально. Это происходит, когда аргумент косинуса равен $2\pi n$, где $n$ - целое число. Проверим, выполняется ли это, если принять, что источник ($x=0$) в начальный момент времени ($t=0$) находился в положении максимального отклонения. Это соответствует выбору функции косинуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.

Итак, пусть уравнение волны имеет вид:

$y(x, t) = A \cos\left(2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right)$

Нас интересует смещение в точке, удаленной от источника на расстояние $x = l = \frac{1}{2}\lambda$, в момент времени $t = 0,5 T = \frac{1}{2}T$.

Подставим эти значения в уравнение:

$y = A \cos\left(2\pi\left(\frac{\frac{1}{2}T}{T} - \frac{\frac{1}{2}\lambda}{\lambda}\right)\right)$

Упростим выражение под знаком косинуса:

$y = A \cos\left(2\pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)\right) = A \cos(2\pi \cdot 0) = A \cos(0)$

Поскольку $\cos(0) = 1$, получаем:

$y = A$

Это означает, что смещение точки от положения равновесия равно амплитуде колебаний. Подставим числовое значение амплитуды, переведенное в СИ:

$y = 0,15$ м.

Полученный результат совпадает с ответом, приведенным в условии, что подтверждает правильность нашего предположения о начальных условиях.

Ответ: смещение от положения равновесия равно 0,15 м.