Номер 3.2.8, страница 84, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.2.8. Уравнение волны имеет вид $x = \sin 2.5 \pi t$. Найдите смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний, для момента времени $t = 1 \text{ с}$ после начала колебаний. Скорость распространения колебаний составляет 100 м/с. (Ответ: 0; 7,85 м/с; 0.)

Дано:

Уравнение колебаний источника: $x_0(t) = \sin(2,5\pi t)$

Расстояние от источника: $l = 20$ м

Момент времени: $t = 1$ с

Скорость распространения колебаний: $v = 100$ м/с

Найти:

Смещение $x$

Скорость $v_x$

Ускорение $a_x$

Решение:

Уравнение, представленное в условии, $x = \sin(2,5\pi t)$, описывает колебания источника волны. Общее уравнение бегущей волны, распространяющейся от источника, для точки на расстоянии $y$ от него имеет вид:

$x(y, t) = A \sin(\omega(t - \frac{y}{v}) + \phi_0)$

Это означает, что колебание в точке $y$ запаздывает по сравнению с колебанием в источнике ($y=0$) на время $\Delta t = y/v$, необходимое волне для прохождения расстояния $y$.

Из уравнения для источника $x_0(t) = \sin(2,5\pi t)$ следует, что амплитуда $A=1$ м, циклическая частота $\omega = 2,5\pi$ рад/с, а начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Следовательно, уравнение колебаний для точки, находящейся на расстоянии $l$ от источника, принимает вид:

$x(l, t) = \sin(2,5\pi(t - \frac{l}{v}))$

Смещение от положения равновесия

Для нахождения смещения подставим численные значения $l=20$ м, $v=100$ м/с и $t=1$ с в уравнение для смещения:

$x = \sin(2,5\pi(1 - \frac{20}{100})) = \sin(2,5\pi(1 - 0,2)) = \sin(2,5\pi \cdot 0,8) = \sin(2\pi) = 0$ м.

Ответ: смещение точки равно 0.

Скорость

Скорость точки найдем как первую производную от смещения по времени:

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [\sin(2,5\pi(t - \frac{l}{v}))] = 2,5\pi \cos(2,5\pi(t - \frac{l}{v}))$

Подставим значения в полученное уравнение для скорости:

$v_x = 2,5\pi \cos(2,5\pi(1 - 0,2)) = 2,5\pi \cos(2\pi) = 2,5\pi \cdot 1 = 2,5\pi \approx 7,85$ м/с.

Ответ: скорость точки составляет 7,85 м/с.

Ускорение

Ускорение точки найдем как вторую производную от смещения по времени (или первую производную от скорости):

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} [2,5\pi \cos(2,5\pi(t - \frac{l}{v}))] = -(2,5\pi)^2 \sin(2,5\pi(t - \frac{l}{v}))$

Подставим значения:

$a_x = -(2,5\pi)^2 \sin(2,5\pi(1 - 0,2)) = -(2,5\pi)^2 \sin(2\pi) = -(2,5\pi)^2 \cdot 0 = 0$ м/с$^2$.

Ответ: ускорение точки равно 0.