Номер 3.2.9, страница 84, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.2.9. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид: $x = 2.5 \sin 400 \pi t$. Найдите смещение от состояния равновесия точки, которая находится на расстоянии 75 см от источника колебаний, для момента времени $t = 0.01 \text{ с}$ после начала колебаний. Скорость распространения колебаний составляет $400 \text{ м/с}$. (Ответ: $2.5 \text{ см}$.)

Дано:

Уравнение колебаний источника: $x_0(t) = 2,5 \sin(400 \pi t)$ (где амплитуда $A$ дана в см)

Расстояние от источника до точки: $l = 75 \text{ см}$

Момент времени: $t = 0,01 \text{ с}$

Скорость распространения колебаний: $v = 400 \text{ м/с}$

$A = 2,5 \text{ см} = 0,025 \text{ м}$

$l = 75 \text{ см} = 0,75 \text{ м}$

$t = 0,01 \text{ с}$

$v = 400 \text{ м/с}$

Найти:

Смещение точки $x$ в момент времени $t$.

Решение:

Уравнение колебаний источника имеет вид $x_0(t) = A \sin(\omega t)$. Сравнивая это с данным в условии уравнением $x = 2,5 \sin(400 \pi t)$, находим амплитуду $A = 2,5 \text{ см}$ и циклическую частоту $\omega = 400\pi \text{ с}^{-1}$.

Волна распространяется от источника до точки на расстоянии $l$ со скоростью $v$. Время, за которое волна достигнет этой точки, равно:

$\tau = \frac{l}{v}$

Колебания в точке, удаленной на расстояние $l$ от источника, будут повторять колебания источника, но с запаздыванием на время $\tau$. Таким образом, уравнение колебаний для этой точки имеет вид:

$x(l, t) = A \sin(\omega(t - \tau)) = A \sin(\omega(t - \frac{l}{v}))$

Это уравнение справедливо для моментов времени $t \ge \tau$.

Сначала вычислим время запаздывания $\tau$, используя данные в системе СИ:

$\tau = \frac{0,75 \text{ м}}{400 \text{ м/с}} = 0,001875 \text{ с}$

Поскольку заданный момент времени $t = 0,01 \text{ с}$ больше, чем $\tau = 0,001875 \text{ с}$, волна уже достигла точки, и точка совершает колебания.

Теперь можем найти смещение $x$ в момент времени $t = 0,01 \text{ с}$:

$x = 2,5 \cdot \sin(400\pi (0,01 - 0,001875))$

$x = 2,5 \cdot \sin(400\pi \cdot 0,008125)$

$x = 2,5 \cdot \sin(3,25\pi)$

Для вычисления значения синуса представим его аргумент в виде:

$3,25\pi = 2\pi + 1,25\pi = 2\pi + \frac{5\pi}{4}$

Используя периодичность синуса $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$, получаем:

$\sin(3,25\pi) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в формулу для смещения:

$x = 2,5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1,25\sqrt{2} \text{ см}$

Вычислим приближенное значение:

$x \approx -1,25 \cdot 1,414 \approx -1,7675 \text{ см}$

Примечание: Ответ в задачнике (2,5 см), вероятно, содержит опечатку, так как он мог бы получиться только при других исходных данных (например, если бы расстояние $l$ было равно 150 см). Решение выше основано строго на данных, представленных в условии.

Ответ: смещение точки составляет $x = -1,25\sqrt{2} \text{ см} \approx -1,77 \text{ см}$.