Номер 3, страница 87, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3. Как получают уравнение стоячей волны? Чему равно расстояние между пучностями (или узлами)?

Как получают уравнение стоячей волны?

Стоячая волна возникает в результате интерференции (суперпозиции) двух бегущих волн, которые имеют одинаковые амплитуды и частоты, но распространяются в противоположных направлениях.

Рассмотрим две плоские волны, распространяющиеся вдоль оси $Ox$ навстречу друг другу. Уравнение первой волны (распространяющейся в положительном направлении оси $Ox$) имеет вид:

$y_1(x, t) = A \cos(\omega t - kx)$

Уравнение второй волны (распространяющейся в отрицательном направлении оси $Ox$) имеет вид:

$y_2(x, t) = A \cos(\omega t + kx)$

Здесь $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота, $k$ – волновое число ($k = 2\pi/\lambda$, где $\lambda$ – длина волны), $t$ – время, $x$ – координата.

Согласно принципу суперпозиции, результирующее смещение $y(x, t)$ в любой точке среды равно сумме смещений, вызываемых каждой из волн в отдельности:

$y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t) = A \cos(\omega t - kx) + A \cos(\omega t + kx)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрической формулой суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \omega t + kx$ и $\beta = \omega t - kx$. Тогда:

$y(x, t) = A \cdot 2\cos\frac{(\omega t + kx) + (\omega t - kx)}{2}\cos\frac{(\omega t + kx) - (\omega t - kx)}{2}$

$y(x, t) = 2A \cos(kx) \cos(\omega t)$

Обычно это уравнение записывают в виде:

$y(x, t) = (2A \cos(kx)) \cos(\omega t)$

Это и есть уравнение стоячей волны. Величина $A_{sw}(x) = 2A \cos(kx)$ называется амплитудой стоячей волны. В отличие от бегущей волны, здесь амплитуда колебаний зависит от координаты $x$. Точки среды совершают гармонические колебания с частотой $\omega$, но с разной, зависящей от положения, амплитудой.

Ответ: Уравнение стоячей волны $y(x, t) = (2A \cos(kx)) \cos(\omega t)$ получают путем сложения уравнений двух одинаковых волн, распространяющихся навстречу друг другу, в соответствии с принципом суперпозиции.

Чему равно расстояние между пучностями (или узлами)?

В стоячей волне существуют точки, которые остаются неподвижными, и точки, которые колеблются с максимальной амплитудой.

Узлы – это точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Это происходит, когда амплитудный множитель в уравнении стоячей волны равен нулю:

$A_{sw}(x) = 2A \cos(kx) = 0$

Это условие выполняется, если $\cos(kx) = 0$, что соответствует $kx = \frac{\pi}{2} + n\pi = (2n+1)\frac{\pi}{2}$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Подставляя волновое число $k = 2\pi/\lambda$, находим координаты узлов $x_{узел}$:

$\frac{2\pi}{\lambda} x_{узел} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies x_{узел} = (2n+1)\frac{\lambda}{4}$

Расстояние между двумя соседними узлами (например, для $n$ и $n+1$) равно:

$\Delta x_{узел} = x_{n+1} - x_{n} = (2(n+1)+1)\frac{\lambda}{4} - (2n+1)\frac{\lambda}{4} = (2n+3 - 2n-1)\frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.

Пучности – это точки, в которых амплитуда колебаний максимальна. Это происходит, когда модуль амплитудного множителя максимален:

$|A_{sw}(x)| = |2A \cos(kx)| = 2A$

Это условие выполняется, если $|\cos(kx)| = 1$, что соответствует $kx = n\pi$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Подставляя $k = 2\pi/\lambda$, находим координаты пучностей $x_{пучность}$:

$\frac{2\pi}{\lambda} x_{пучность} = n\pi \implies x_{пучность} = n\frac{\lambda}{2}$

Расстояние между двумя соседними пучностями (например, для $n$ и $n+1$) равно:

$\Delta x_{пучность} = x_{n+1} - x_{n} = (n+1)\frac{\lambda}{2} - n\frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2}$.

Таким образом, расстояние как между соседними узлами, так и между соседними пучностями одинаково и равно половине длины волны. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно четверти длины волны, $\lambda/4$.

Ответ: Расстояние между соседними пучностями, а также между соседними узлами, равно половине длины волны: $\lambda/2$.