Номер 3.3.5, страница 88, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.3.5. Найдите положение узлов и пучностей и начертите график стоячей волны, если отражение происходит от менее плотной среды. Длина бегущей волны равна 16 см. (Ответ: пучности $0,08n$; узлы $0,04(2n + 1)$.)

Дано:

Отражение происходит от менее плотной среды.

Длина бегущей волны: $\lambda = 16 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 0,16 \text{ м}$

Найти:

Положение узлов $x_{уз}$ и пучностей $x_{пуч}$.

Начертить график стоячей волны.

Решение:

Стоячая волна образуется в результате наложения (интерференции) падающей и отраженной волн. Пусть граница раздела сред, от которой происходит отражение, находится в точке $x=0$.

Уравнение падающей волны, распространяющейся в сторону границы раздела (например, в отрицательном направлении оси Ox), имеет вид: $y_1(x, t) = A \cos(\omega t + kx)$, где $A$ - амплитуда, $\omega$ - круговая частота, $k$ - волновое число.

По условию, отражение происходит от менее плотной среды. При таком отражении фаза волны не меняется. Следовательно, уравнение отраженной волны, распространяющейся в противоположном направлении (в положительном направлении оси Ox), будет: $y_2(x, t) = A \cos(\omega t - kx)$

Результирующее колебание в среде (стоячая волна) описывается суммой этих двух уравнений, согласно принципу суперпозиции: $y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t) = A \cos(\omega t + kx) + A \cos(\omega t - kx)$

Используя тригонометрическую формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$, получаем уравнение стоячей волны: $y(x, t) = 2A \cos\left(\frac{(\omega t + kx) + (\omega t - kx)}{2}\right) \cos\left(\frac{(\omega t + kx) - (\omega t - kx)}{2}\right)$ $y(x, t) = 2A \cos(kx) \cos(\omega t)$

Амплитуда колебаний в каждой точке $x$ определяется выражением $A_{ст}(x) = |2A \cos(kx)|$.

Положение пучностей (антиузлов)

Пучности — это точки, в которых амплитуда колебаний максимальна: $A_{ст}(x) = 2A$. Это условие выполняется, когда $|\cos(kx)| = 1$. Следовательно, фаза $kx$ должна быть кратна $\pi$: $kx_{пуч} = n\pi$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$

Волновое число связано с длиной волны соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. Подставим это в условие для пучностей: $\frac{2\pi}{\lambda} x_{пуч} = n\pi$

Отсюда находим координаты пучностей: $x_{пуч} = n \frac{\lambda}{2}$

Подставляем значение длины волны $\lambda = 0,16$ м: $x_{пуч} = n \frac{0,16}{2} = 0,08n \text{ (м)}$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ В точке отражения ($x=0$, при $n=0$) находится пучность, что является характерным признаком отражения от менее плотной среды.

Положение узлов

Узлы — это точки, в которых амплитуда колебаний всегда равна нулю: $A_{ст}(x) = 0$. Это условие выполняется, когда $\cos(kx) = 0$. Следовательно, фаза $kx$ должна быть равна нечетному числу $\pi/2$: $kx_{уз} = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$

Подставляя $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, получаем: $\frac{2\pi}{\lambda} x_{уз} = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$

Отсюда находим координаты узлов: $x_{уз} = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}$

Подставляем значение $\lambda = 0,16$ м: $x_{уз} = (2n + 1) \frac{0,16}{4} = 0,04(2n + 1) \text{ (м)}$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$

График стоячей волны

На графике показана форма стоячей волны в моменты времени, когда смещения частиц от положения равновесия максимальны (сплошная и пунктирная линии). Амплитуда колебаний $A_{ст}$ зависит от координаты $x$. Расстояние между соседними узлами (или соседними пучностями) равно $\lambda/2 = 8$ см. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно $\lambda/4 = 4$ см.

Ответ:

Координаты пучностей (точек с максимальной амплитудой) определяются формулой $x_{пуч} = 0,08n$ м, где $n$ – любое целое число ($n=0, \pm 1, \pm 2, ...$).

Координаты узлов (точек с нулевой амплитудой) определяются формулой $x_{уз} = 0,04(2n + 1)$ м, где $n$ – любое целое число.

График стоячей волны представлен выше.