Номер 3.3.7, страница 88, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.3.7. Стоячая волна образуется при наложении бегущей звуковой волны и волны, отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной направлению распространения волны. Найдите положения узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит от среды менее плотной. Скорость распространения звуковых колебаний равна 340 м/с и период $3 \cdot 10^4$ с. (Ответ: пучности - $0{,}051n$; узлы - $0{,}051(n + 1/2).$)

Дано:

Скорость распространения звуковых колебаний $v = 340 \text{ м/с}$

Период колебаний $T = 3 \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Отражение происходит от среды менее плотной.

Найти:

Положения узлов $x_{узл}$ и пучностей $x_{пучн}$ стоячей волны.

Решение:

Стоячая волна возникает при наложении двух когерентных волн, распространяющихся навстречу друг другу. В данном случае это падающая звуковая волна и волна, отраженная от границы раздела сред. Пусть ось $Ox$ направлена перпендикулярно границе раздела, а сама граница находится в точке $x=0$.

Уравнение падающей волны, распространяющейся в положительном направлении оси $Ox$, можно записать в виде:

$s_1(x,t) = A \cos(\omega t - kx)$

где $A$ — амплитуда смещения частиц, $\omega$ — круговая частота, $k$ — волновое число.

По условию задачи, отражение происходит от среды менее плотной (акустически более мягкой). При отражении от такой границы фаза волны не изменяется. Следовательно, уравнение отраженной волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси $Ox$, будет иметь вид:

$s_2(x,t) = A \cos(\omega t + kx)$

Результирующая волна (стоячая волна) является суперпозицией этих двух волн:

$s(x,t) = s_1(x,t) + s_2(x,t) = A \cos(\omega t - kx) + A \cos(\omega t + kx)$

Используя тригонометрическую формулу для суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$, получим:

$s(x,t) = 2A \cos\left(\frac{(\omega t - kx) + (\omega t + kx)}{2}\right) \cos\left(\frac{(\omega t - kx) - (\omega t + kx)}{2}\right)$

$s(x,t) = 2A \cos(\omega t) \cos(-kx)$

Так как функция косинуса четная, $\cos(-kx) = \cos(kx)$, уравнение стоячей волны принимает вид:

$s(x,t) = [2A \cos(kx)] \cos(\omega t)$

Выражение в квадратных скобках, $A_{ст}(x) = 2A \cos(kx)$, является амплитудой колебаний в стоячей волне, зависящей от координаты $x$.

Пучности — это точки, в которых амплитуда колебаний максимальна. Это достигается, когда модуль косинуса равен единице:

$|\cos(kx_{пучн})| = 1$

Это условие выполняется при $kx_{пучн} = n\pi$, где $n = 0, 1, 2, ...$

Узлы — это точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Это достигается, когда косинус равен нулю:

$\cos(kx_{узл}) = 0$

Это условие выполняется при $kx_{узл} = (n + \frac{1}{2})\pi$, где $n = 0, 1, 2, ...$

Волновое число $k$ связано с длиной волны $\lambda$ соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. Подставим это в условия для узлов и пучностей:

Для пучностей: $\frac{2\pi}{\lambda} x_{пучн} = n\pi \implies x_{пучн} = n \frac{\lambda}{2}$

Для узлов: $\frac{2\pi}{\lambda} x_{узл} = (n + \frac{1}{2})\pi \implies x_{узл} = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{2}$

Теперь найдем длину волны $\lambda$, используя известные скорость $v$ и период $T$:

$\lambda = v \cdot T = 340 \text{ м/с} \cdot 3 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 1020 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0,102 \text{ м}$

Рассчитаем половину длины волны:

$\frac{\lambda}{2} = \frac{0,102 \text{ м}}{2} = 0,051 \text{ м}$

Подставим это значение в формулы для координат пучностей и узлов:

Положения пучностей: $x_{пучн} = 0,051 \cdot n \text{ (м)}$, где $n = 0, 1, 2, ...$

Положения узлов: $x_{узл} = 0,051 \cdot (n + \frac{1}{2}) \text{ (м)}$, где $n = 0, 1, 2, ...$

Ответ: положения пучностей определяются формулой $x_{пучн} = 0,051 n \text{ м}$, а положения узлов — $x_{узл} = 0,051(n + 1/2) \text{ м}$, где $n = 0, 1, 2, ...$