Номер 3.3.8, страница 88, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.3.8. Струна длиной 0,8 м туго натянута между двумя опорами. Скорость распространения волны в струне равна 16 м/с. Определите частоты первых пяти стоячих волн, начиная с самой длинной, которые можно возбудить в струне. Какие из этих колебаний будут источниками слышимых звуков? (Ответ: 10, 20, 30, 40, 50 Гц. Колебания с частотой 20, 30, 40, 50 Гц будут источниками слышимых звуков.)

Дано:

Длина струны $L = 0,8$ м

Скорость распространения волны $v = 16$ м/с

Найти:

Частоты первых пяти стоячих волн $\nu_n$ (для $n=1, \ldots, 5$) - ?

Какие из этих колебаний являются источниками слышимых звуков - ?

Решение:

Стоячие волны в струне, закрепленной на обоих концах, образуются при условии, что на длине струны $L$ укладывается целое число полуволн. Это условие записывается формулой:

$L = n \frac{\lambda_n}{2}$

где $n$ — целое число ($n=1, 2, 3, \ldots$), номер гармоники, а $\lambda_n$ — длина волны для $n$-ой гармоники.

Длина волны и частота связаны через скорость распространения волны: $v = \lambda_n \nu_n$.

Из этих двух формул можно выразить частоты возможных колебаний (гармоник):

$\lambda_n = \frac{2L}{n}$

$\nu_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{v}{2L/n} = n \frac{v}{2L}$

Определение частот первых пяти стоячих волн

Требуется найти частоты, начиная с самой длинной волны, что соответствует наименьшим значениям $n$. Найдем частоты для $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

Основная частота (первая гармоника, $n=1$):

$\nu_1 = 1 \cdot \frac{v}{2L} = \frac{16 \text{ м/с}}{2 \cdot 0,8 \text{ м}} = \frac{16}{1,6} \text{ Гц} = 10 \text{ Гц}$.

Частоты следующих гармоник (обертонов) кратны основной частоте:

Вторая гармоника ($n=2$): $\nu_2 = 2 \cdot \nu_1 = 2 \cdot 10 \text{ Гц} = 20 \text{ Гц}$.

Третья гармоника ($n=3$): $\nu_3 = 3 \cdot \nu_1 = 3 \cdot 10 \text{ Гц} = 30 \text{ Гц}$.

Четвертая гармоника ($n=4$): $\nu_4 = 4 \cdot \nu_1 = 4 \cdot 10 \text{ Гц} = 40 \text{ Гц}$.

Пятая гармоника ($n=5$): $\nu_5 = 5 \cdot \nu_1 = 5 \cdot 10 \text{ Гц} = 50 \text{ Гц}$.

Определение источников слышимых звуков

Диапазон частот, воспринимаемых человеческим ухом, в среднем составляет от 20 Гц до 20 000 Гц. Звуки с частотами ниже 20 Гц (инфразвук) и выше 20 000 Гц (ультразвук) человеком не слышны.

Сравним полученные частоты с диапазоном слышимости:

$\nu_1 = 10$ Гц — не является слышимым звуком (инфразвук).

$\nu_2 = 20$ Гц — находится на нижней границе слышимости и является слышимым.

$\nu_3 = 30$ Гц, $\nu_4 = 40$ Гц, $\nu_5 = 50$ Гц — все находятся в слышимом диапазоне.

Таким образом, колебания с частотами 20, 30, 40 и 50 Гц будут источниками слышимых звуков.

Ответ: частоты первых пяти стоячих волн равны 10 Гц, 20 Гц, 30 Гц, 40 Гц, 50 Гц; источниками слышимых звуков будут колебания с частотами 20 Гц, 30 Гц, 40 Гц и 50 Гц.