Номер 3.3.6, страница 88, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.3.6. Амплитуда колебаний в пучности стоячей волны равна 1 м, а амплитуда колебаний в точке, отстоящей от пучности на 0,3 м, в два раза меньше. Определите длину бегущей волны (Ответ: 12 м)

Дано:

Амплитуда колебаний в пучности $A_{max} = 1$ м

Расстояние от пучности $x = 0,3$ м

Амплитуда в точке $x$: $A(x) = \frac{A_{max}}{2}$

Найти:

Длину бегущей волны $\lambda$.

Решение:

Амплитуда колебаний стоячей волны зависит от положения точки. Если поместить начало координат ($x=0$) в пучность, где амплитуда максимальна, то амплитуда $A(x)$ в любой точке на расстоянии $x$ от пучности определяется формулой:

$A(x) = A_{max} \cdot |\cos(kx)|$

где $k$ — волновое число, связанное с длиной бегущей волны $\lambda$ соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.

Подставим выражение для волнового числа в формулу амплитуды:

$A(x) = A_{max} \cdot |\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})|$

Согласно условию, в точке, отстоящей от пучности на $x = 0,3$ м, амплитуда в два раза меньше максимальной:

$A(0,3) = \frac{A_{max}}{2} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0,5 \text{ м}$

Подставим известные значения в уравнение:

$\frac{A_{max}}{2} = A_{max} \cdot |\cos(\frac{2\pi \cdot 0,3}{\lambda})|$

Сократим обе части уравнения на $A_{max}$:

$\frac{1}{2} = |\cos(\frac{0,6\pi}{\lambda})|$

Для нахождения простейшего решения (ближайшая к пучности точка) рассмотрим положительное значение косинуса. Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$\frac{0,6\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{3}$

Выразим из этого уравнения длину волны $\lambda$. Для этого сократим $\pi$ в обеих частях:

$\frac{0,6}{\lambda} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим $\lambda$:

$\lambda = 0,6 \cdot 3 = 1,8 \text{ м}$

Ответ: 1,8 м.