Номер 3.3.10, страница 89, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.3.10. В железной трубке образовалась стоячая волна и наблюдалось 8 пучностей. Какова была длина $l_2$ воздушного столба, если железный стержень закреплен: а) посередине; б) в конце? Длина стержня $l_1 = 2$ м. Скорость распространения звука в железе составляет $5930$ м/с, в воздухе $343$ м/с. (Ответ: $0,925$ м; $1,85$ м.)

Дано:

Число пучностей в воздушном столбе, $N = 8$

Длина железного стержня, $l_1 = 2$ м

Скорость распространения звука в железе, $v_1 = 5930$ м/с

Скорость распространения звука в воздухе, $v_2 = 343$ м/с

Найти:

$l_2$ — ?

Решение:

Колебания железного стержня являются источником звуковой волны в воздушном столбе. Частота колебаний стержня $f$ и частота стоячей волны в воздухе одинаковы, поскольку наблюдается явление резонанса.

Сначала найдем связь между длиной воздушного столба $l_2$ и частотой волны $f$. В воздушном столбе образуется стоячая волна с 8 пучностями. В установках типа трубки Кундта один конец, возбуждаемый стержнем, и другой свободный конец являются пучностями смещения. Расстояние между двумя соседними пучностями равно половине длины волны. Таким образом, длина столба, содержащего $N$ пучностей, связана с длиной волны в воздухе $\lambda_2$ соотношением:

$l_2 = N \frac{\lambda_2}{2}$

При $N=8$ получаем:

$l_2 = 8 \frac{\lambda_2}{2} = 4\lambda_2$

Длина волны в воздухе $\lambda_2 = \frac{l_2}{4}$.

Частота звуковой волны в воздухе определяется как $f = \frac{v_2}{\lambda_2}$. Подставив выражение для $\lambda_2$, получим:

$f = \frac{v_2}{l_2/4} = \frac{4v_2}{l_2}$

Отсюда можно выразить искомую длину воздушного столба:

$l_2 = \frac{4v_2}{f}$

Далее рассмотрим два случая закрепления стержня, чтобы найти частоту $f$. Предполагается, что стержень колеблется на основной частоте.

а) стержень закреплен посередине

В этом случае в центре стержня будет узел смещения, а на его свободных концах — пучности. Минимальная частота (основной тон) соответствует такой стоячей волне, когда длина стержня $l_1$ равна половине длины волны в железе $\lambda_1$:

$l_1 = \frac{\lambda_1}{2}$

Следовательно, $\lambda_1 = 2l_1$.

Частота колебаний стержня равна:

$f = \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{v_1}{2l_1}$

Теперь подставим это выражение для частоты в формулу для $l_2$:

$l_2 = \frac{4v_2}{v_1/(2l_1)} = \frac{8v_2l_1}{v_1}$

Подставим числовые значения:

$l_2 = \frac{8 \cdot 343 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ м}}{5930 \text{ м/с}} = \frac{5488}{5930} \text{ м} \approx 0,9255 \text{ м}$

Ответ: $l_2 \approx 0,925$ м.

б) стержень закреплен в конце

Если стержень закреплен на одном конце, там будет узел смещения, а на другом, свободном конце — пучность. Для основного тона длина стержня $l_1$ будет равна четверти длины волны $\lambda_1$:

$l_1 = \frac{\lambda_1}{4}$

Следовательно, $\lambda_1 = 4l_1$.

Частота колебаний стержня в этом случае:

$f = \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{v_1}{4l_1}$

Подставим эту частоту в формулу для $l_2$:

$l_2 = \frac{4v_2}{v_1/(4l_1)} = \frac{16v_2l_1}{v_1}$

Подставим числовые значения:

$l_2 = \frac{16 \cdot 343 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ м}}{5930 \text{ м/с}} = \frac{10976}{5930} \text{ м} \approx 1,851 \text{ м}$

Ответ: $l_2 \approx 1,85$ м.