Вариант 2, страница 38 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Физика атомного ядра. Контрольная работа. Световые кванты. Атомная и ядерная физика - страница 38.

Условие.

Вариант 2

1. Металл, работа выхода для которого равна 4 эВ, облучают электромагнитными волнами с длиной волны 0,3 мкм. Определите максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых при этом из металла.

2. Чему равна длина волны кванта излучения, импульс которого равен импульсу электрона, прошедшего разность потенциалов 9,8 В?

3. Как изменяется атомная масса и номер элемента при $\beta$-распаде?

4. В результате исследования археологических находок учёные установили, что активность радиоактивного изотопа углерода $^{14}_{6}\text{C}$ составляет 70,7 % первоначальной. Каким оказался возраст экспоната, если период полураспада ядра $^{14}_{6}\text{C}$ составляет 5700 лет?

Решение.

1.

Дано:

Работа выхода, $A_{вых} = 4 \text{ эВ}$

Длина волны, $\lambda = 0,3 \text{ мкм}$

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в СИ:

$A_{вых} = 4 \text{ эВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ} = 6,4 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

$\lambda = 0,3 \text{ мкм} = 0,3 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 3 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Максимальная скорость фотоэлектронов, $v_{max}$

Решение:

Для решения задачи используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{к, max}$

где $E_{ф}$ - энергия падающего фотона, $A_{вых}$ - работа выхода электрона из металла, $E_{к, max}$ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона вычисляется по формуле:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона связана с его скоростью:

$E_{к, max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Подставим все в уравнение Эйнштейна:

$\frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Выразим отсюда максимальную скорость $v_{max}$:

$\frac{m_e v_{max}^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - A_{вых}$

$v_{max} = \sqrt{\frac{2}{m_e} \left( \frac{hc}{\lambda} - A_{вых} \right)}$

Сначала найдем энергию падающего фотона:

$E_{ф} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = 6,63 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Теперь найдем максимальную кинетическую энергию электронов:

$E_{к, max} = 6,63 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 6,4 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 0,23 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Наконец, вычислим максимальную скорость:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,23 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0,46}{9,11} \cdot 10^{12} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx \sqrt{0,0505 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,25 \cdot 10^5 \text{ м/с}$

Ответ: Максимальная скорость фотоэлектронов равна примерно $2,25 \cdot 10^5 \text{ м/с}$.

2.

Дано:

Разность потенциалов, $U = 9,8 \text{ В}$

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

Длина волны кванта излучения, $\lambda_{квант}$

Решение:

Длина волны кванта излучения (фотона) связана с его импульсом $p_{квант}$ через формулу де Бройля:

$\lambda_{квант} = \frac{h}{p_{квант}}$

По условию задачи, импульс кванта равен импульсу электрона, $p_{квант} = p_e$. Следовательно:

$\lambda_{квант} = \frac{h}{p_e}$

Найдем импульс электрона. Когда электрон проходит ускоряющую разность потенциалов $U$, его кинетическая энергия $E_к$ становится равной работе электрического поля:

$E_к = eU$

Кинетическая энергия также связана с импульсом электрона $p_e$:

$E_к = \frac{p_e^2}{2m_e}$

Приравнивая два выражения для энергии, получаем:

$\frac{p_e^2}{2m_e} = eU$

Отсюда находим импульс электрона:

$p_e = \sqrt{2m_e eU}$

Подставим это выражение в формулу для длины волны кванта:

$\lambda_{квант} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eU}}$

Произведем вычисления:

$p_e = \sqrt{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 9,8 \text{ В}} \approx \sqrt{28,57 \cdot 10^{-50}} \text{ кг}\cdot\text{м/с} \approx 1,69 \cdot 10^{-24} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

$\lambda_{квант} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}}{1,69 \cdot 10^{-24} \text{ кг}\cdot\text{м/с}} \approx 3,92 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: Длина волны кванта излучения равна примерно $3,92 \cdot 10^{-10} \text{ м}$ (или 0,392 нм).

3.

При β-распаде (имеется в виду наиболее распространенный β⁻-распад) в ядре атома один из нейтронов превращается в протон, и при этом из ядра испускаются электрон (β-частица) и электронное антинейтрино. Общая схема реакции выглядит так:

$^A_Z X \rightarrow ^A_{Z+1} Y + e^- + \bar{\nu}_e$

где $X$ — исходный элемент, $Y$ — новый элемент, $A$ — массовое число, $Z$ — зарядовое число (номер элемента).

Исходя из этой схемы:

1. Атомная масса (массовое число A), равная общему числу протонов и нейтронов в ядре, не изменяется. Хотя один нейтрон превращается в протон, общее число нуклонов в ядре остается прежним.

2. Номер элемента (зарядовое число Z), равный числу протонов в ядре, увеличивается на единицу. В результате распада образуется ядро нового химического элемента, который в таблице Менделеева смещается на одну клетку вправо от исходного.

Ответ: При β-распаде атомная масса (массовое число) элемента не изменяется, а его номер (зарядовое число) увеличивается на 1.

4.

Дано:

Отношение текущей активности к начальной, $\frac{A(t)}{A_0} = 70,7\% = 0,707$

Период полураспада углерода-¹⁴C, $T_{1/2} = 5700 \text{ лет}$

Найти:

Возраст экспоната, $t$

Решение:

Закон радиоактивного распада для активности $A$ имеет вид:

$A(t) = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $A(t)$ — активность в момент времени $t$, $A_0$ — начальная активность, $T_{1/2}$ — период полураспада.

Разделим обе части уравнения на $A_0$:

$\frac{A(t)}{A_0} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Подставим известные значения. Заметим, что $70,7\% = 0,707$, что очень близко к значению $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,7071$. Будем считать, что $\frac{A(t)}{A_0} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Представим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ как степень двойки: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$.

Теперь наше уравнение принимает вид:

$2^{-1/2} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-\frac{1}{2} = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выражаем возраст $t$:

$t = \frac{T_{1/2}}{2}$

Подставляем значение периода полураспада:

$t = \frac{5700 \text{ лет}}{2} = 2850 \text{ лет}$

Ответ: Возраст экспоната составляет 2850 лет.