Вариант 5, страница 40 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Физика атомного ядра. Контрольная работа. Световые кванты. Атомная и ядерная физика - страница 40.

Условие.

Вариант 5*

1. Поверхность некоторого металла освещают поочерёдно светом с длинами волн 350 нм и 450 нм, при этом скорость фотоэлектронов различается в 2 раза. Чему равна работа выхода этого металла?

2. Каплю воды объёмом 0,2 мл нагревают светом с длиной волны 0,75 мкм, при этом ежесекундно поглощается $10^{10}$ фотонов. Определите скорость нагревания воды.

3. В камере Вильсона ядро бора $^{11}_{5}\text{B}$ захватывает быстрый протон, в результате чего образуются три одинаковые частицы. Определите, что это за частицы, и запишите уравнение реакции.

4. Рассчитайте период полураспада висмута $^{210}_{83}\text{Bi}$, если 1 г препарата за 1 с выбрасывает $4,58 \cdot 10^{15}$ $\beta$-частиц.

Решение.

1.

Дано:

$\lambda_1 = 350 \text{ нм}$
$\lambda_2 = 450 \text{ нм}$
$\frac{v_1}{v_2} = 2$
$h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$ (постоянная Планка)
$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света)

$\lambda_1 = 350 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
$\lambda_2 = 450 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$A_{вых}$

Решение:

Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта для двух случаев. Энергия падающего фотона $E$ расходуется на работу выхода $A_{вых}$ и на сообщение фотоэлектрону кинетической энергии $E_k$.

$E = A_{вых} + E_k$

Энергия фотона определяется его длиной волны $\lambda$ как $E = \frac{hc}{\lambda}$, а кинетическая энергия электрона — его скоростью $v$ как $E_k = \frac{m_e v^2}{2}$.

Для первого случая (длина волны $\lambda_1$):

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{m_e v_1^2}{2}$ (1)

Для второго случая (длина волны $\lambda_2$):

$\frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + \frac{m_e v_2^2}{2}$ (2)

Поскольку длина волны $\lambda_1 < \lambda_2$, энергия фотонов в первом случае больше, следовательно, и скорость фотоэлектронов больше, то есть $v_1 > v_2$. По условию, $v_1 = 2v_2$. Подставим это соотношение в уравнение (1):

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{m_e (2v_2)^2}{2} = A_{вых} + 4 \frac{m_e v_2^2}{2}$ (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (2) и (3) с двумя неизвестными: $A_{вых}$ и $v_2$. Выразим $\frac{m_e v_2^2}{2}$ из уравнения (2):

$\frac{m_e v_2^2}{2} = \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых}$

Подставим это выражение в уравнение (3):

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + 4 \left( \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых} \right)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $A_{вых}$:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{4hc}{\lambda_2} - 4A_{вых}$
$3A_{вых} = \frac{4hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1}$
$3A_{вых} = hc \left( \frac{4}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$
$A_{вых} = \frac{hc}{3} \left( \frac{4\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2} \right)$

Подставим числовые значения:

$A_{вых} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3} \left( \frac{4 \cdot 350 \cdot 10^{-9} - 450 \cdot 10^{-9}}{350 \cdot 10^{-9} \cdot 450 \cdot 10^{-9}} \right)$
$A_{вых} = 6.63 \cdot 10^{-26} \left( \frac{(1400 - 450) \cdot 10^{-9}}{157500 \cdot 10^{-18}} \right)$
$A_{вых} = 6.63 \cdot 10^{-26} \left( \frac{950 \cdot 10^{-9}}{1.575 \cdot 10^5 \cdot 10^{-18}} \right)$
$A_{вых} = 6.63 \cdot 10^{-26} \left( \frac{950}{1.575} \cdot 10^4 \right) \approx 4.0 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Можно также выразить работу выхода в электрон-вольтах (эВ), зная, что $1 \text{ эВ} \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$:

$A_{вых} = \frac{4.0 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} = 2.5 \text{ эВ}$

Ответ: Работа выхода металла равна $4.0 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$ (или $2.5 \text{ эВ}$).

2.

Дано:

$V = 0.2 \text{ мл}$
$\lambda = 0.75 \text{ мкм}$
$\frac{N}{t} = 10^{10} \text{ с}^{-1}$ (количество фотонов в секунду)
$c_{воды} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$ (удельная теплоемкость воды)
$\rho_{воды} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)
$h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$ (постоянная Планка)
$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света)

$V = 0.2 \text{ мл} = 0.2 \text{ см}^3 = 0.2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$
$\lambda = 0.75 \text{ мкм} = 0.75 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

$\frac{\Delta T}{t}$

Решение:

Скорость нагревания воды — это изменение её температуры за единицу времени, то есть $\frac{\Delta T}{t}$.

Энергия, поглощаемая каплей воды ежесекундно (мощность поглощения $P$), равна энергии одного фотона $E_1$, умноженной на число поглощаемых фотонов в секунду $\frac{N}{t}$.

$P = \frac{N}{t} \cdot E_1$, где энергия одного фотона $E_1 = \frac{hc}{\lambda}$.

Эта энергия идет на нагревание воды. Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания, определяется формулой $Q = m c_{воды} \Delta T$, где $m$ — масса воды. Мощность нагрева равна $P = \frac{Q}{t} = \frac{m c_{воды} \Delta T}{t}$.

Массу воды найдем через её объём и плотность: $m = \rho_{воды} V$.

Приравняем выражения для мощности:

$\frac{N}{t} \frac{hc}{\lambda} = \frac{\rho_{воды} V c_{воды} \Delta T}{t}$

Выразим искомую скорость нагревания $\frac{\Delta T}{t}$:

$\frac{\Delta T}{t} = \frac{N \cdot h \cdot c}{t \cdot \lambda \cdot \rho_{воды} \cdot V \cdot c_{воды}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{\Delta T}{t} = \frac{10^{10} \cdot 6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{1 \cdot 0.75 \cdot 10^{-6} \cdot 1000 \cdot 0.2 \cdot 10^{-6} \cdot 4200}$
$\frac{\Delta T}{t} = \frac{19.89 \cdot 10^{-16}}{0.75 \cdot 10^{-6} \cdot (0.2 \cdot 10^{-3}) \cdot 4200} = \frac{19.89 \cdot 10^{-16}}{630 \cdot 10^{-9}}$
$\frac{\Delta T}{t} = \frac{19.89}{630} \cdot 10^{-7} \approx 0.0316 \cdot 10^{-7} \text{ К/с} \approx 3.16 \cdot 10^{-9} \text{ К/с}$

Ответ: Скорость нагревания воды составляет примерно $3.16 \cdot 10^{-9} \text{ К/с}$.

3.

Решение:

Запишем схему ядерной реакции. Ядро бора $_{5}^{11}\text{B}$ захватывает протон $_{1}^{1}\text{p}$ и в результате образуются три одинаковые частицы, которые обозначим как $_{Z}^{A}\text{X}$.

$_{5}^{11}\text{B} + _{1}^{1}\text{p} \rightarrow 3 \cdot _{Z}^{A}\text{X}$

При ядерных реакциях выполняются законы сохранения зарядового числа (суммы нижних индексов) и массового числа (суммы верхних индексов).

1. Закон сохранения зарядового числа:
Сумма зарядовых чисел до реакции: $5 + 1 = 6$.
Сумма зарядовых чисел после реакции: $3 \cdot Z$.
Приравнивая их, получаем: $6 = 3Z$, откуда $Z=2$.

2. Закон сохранения массового числа:
Сумма массовых чисел до реакции: $11 + 1 = 12$.
Сумма массовых чисел после реакции: $3 \cdot A$.
Приравнивая их, получаем: $12 = 3A$, откуда $A=4$.

Таким образом, неизвестная частица $_{Z}^{A}\text{X}$ имеет зарядовое число $Z=2$ и массовое число $A=4$. Это ядро атома гелия $_{2}^{4}\text{He}$, также известное как альфа-частица ($\alpha$).

Следовательно, в результате реакции образуются три альфа-частицы. Уравнение реакции в окончательном виде:

$_{5}^{11}\text{B} + _{1}^{1}\text{p} \rightarrow 3 \cdot _{2}^{4}\text{He}$

Ответ: Образуются три альфа-частицы (ядра гелия $_{2}^{4}\text{He}$). Уравнение реакции: $_{5}^{11}\text{B} + _{1}^{1}\text{p} \rightarrow 3 \cdot _{2}^{4}\text{He}$.

4.

Дано:

Изотоп: $_{83}^{210}\text{Bi}$
$m = 1 \text{ г}$
Активность $A = 4.58 \cdot 10^{15}$ распадов/с (1 распад = 1 $\beta$-частица)
$N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ (число Авогадро)
Молярная масса $M(_{}^{210}\text{Bi}) \approx 210 \text{ г/моль}$

Найти:

$T_{1/2}$

Решение:

Активность радиоактивного препарата $A$ связана с числом радиоактивных ядер $N$ и постоянной распада $\lambda$ соотношением: $A = \lambda N$.

Период полураспада $T_{1/2}$ связан с постоянной распада $\lambda$ формулой: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

Из первой формулы выразим $\lambda = \frac{A}{N}$ и подставим во вторую: $T_{1/2} = \frac{\ln 2 \cdot N}{A}$.

Найдем число ядер $N$ в 1 грамме висмута-210. Сначала найдем количество вещества $\nu$:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{1 \text{ г}}{210 \text{ г/моль}}$

Теперь найдем число ядер, умножив количество вещества на число Авогадро:

$N = \nu \cdot N_A = \frac{m}{M} N_A = \frac{1}{210} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \approx 2.868 \cdot 10^{21}$ ядер.

Рассчитаем период полураспада, используя $\ln 2 \approx 0.693$:

$T_{1/2} = \frac{0.693 \cdot 2.868 \cdot 10^{21}}{4.58 \cdot 10^{15} \text{ с}^{-1}} \approx \frac{1.988 \cdot 10^{21}}{4.58 \cdot 10^{15}} \text{ с} \approx 0.434 \cdot 10^6 \text{ с}$

$T_{1/2} \approx 4.34 \cdot 10^5 \text{ с}$

Переведем это значение в сутки для наглядности (1 сутки = 86400 с):

$T_{1/2} = \frac{4.34 \cdot 10^5 \text{ с}}{86400 \text{ с/сут}} \approx 5.02 \text{ суток}$

Ответ: Период полураспада висмута-210 составляет примерно $4.34 \cdot 10^5 \text{ с}$ (или $5.02$ суток).